【新高考复习】课时跟踪检测（四十一） 两条直线的位置关系 作业

课时跟踪检测（四十一）两条直线的位置关系一、基础练——练手感熟练度1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．－13C．－23D．－2解析：选D由a×1＋2×1＝0得a＝－2.故选D.2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．已知A(4，－3)关于直线l的对称点为B(－2,5)，则直线l的方程是()A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0解析：选B由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB＝5＋3－2－4＝－43，所以直线l的斜率为34，因此直线l的方程为y－1＝34(x－1)，即3x－4y＋1＝0.故选B.4．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是()A．3x＋4y＋5＝0B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知的直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0，故选A.5．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10,10]B．[－10,5]C．[－5,5]D．[0,10]解析：选D由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10]．6．经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________．解析：过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，λ＝－14，故所求直线为x－y＝0.答案：x－y＝0二、综合练——练思维敏锐度1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定解析：选C直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－12，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.2．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是()A．k∈RB．k∈R且k≠±1，k≠0C．k∈R且k≠±5，k≠－10D．k∈R且k≠±5，k≠1解析：选C由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，则k＝－10.故若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10.故选C.3．(多选)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为()A．2x＋3y－8＝0B．4x＋6y＋5＝0C．6x＋9y－10＝0D．12x＋18y－13＝0解析：选BD设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题知：d1＝|m＋2|16＋36，d2＝|m＋9|16＋36.因为d1d2＝12，所以2|m＋2|16＋36＝|m＋9|16＋36，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－133，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝()A．7B.172C．14D．17解析：选B直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以|2m＋3|4＋36＝10，求得m＝172.5．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为()A．2x＋3y－12＝0B．2x－3y－12＝0C．2x－3y＋12＝0D．2x＋3y＋12＝0解析：选D由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令x＋3＝0，y－1＝0，可得x＝－3，y＝1，所以M(－3,1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D.6．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A．(5，＋∞)B．(0,5]C．(34，＋∞)D．(0，34]解析：选D当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为－1－22＋[2－－3]2＝34，∴l1，l2之间距离的取值范围是(0，34]．7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于()A.345B.365C.283D.323解析：选A由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，解得m＝35，n＝315，故m＋n＝345.8．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A．(－2,4)B．(－2，－4)C．(2,4)D．(2，－4)解析：选C设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)．则y－2x＋4×2＝－1，y＋22＝2×－4＋x2，解得x＝4，y＝－2，即A′(4，－2)，∴直线A′C即BC所在直线的方程为y－1＝－2－14－3(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知点C在直线y＝2x上，联立3x＋y－10＝0，y＝2x，解得x＝2，y＝4，则C(2,4)，故选C.9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2B．1C.83D.43解析：选D以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0t4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝4－t4＋t·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G43，43.因为重心G43，43在光线RQ上，所以有43＝4－t4＋t43＋t，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝43，因为0t4，所以t＝43，即|AP|＝43，故选D.10．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是__________．解析：设所求直线方程为x－2y＋λ＝0，令x＝0，得y＝λ2；令y＝0，得x＝－λ.由题意，得12·λ2·|－λ|＝4，解得λ＝±4.故所求直线方程为x－2y±4＝0.答案：x－2y±4＝011．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是________．解析：由题意知k≠±1.联立kx－y＋1＝0，x－ky＝0，解得x＝k1－k2，y＝11－k2，∴k1－k2＜0，11－k2＞0，∴－1＜k＜0.答案：(－1,0)12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y＋3－m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y＋3－m＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y＋3－m＝0垂直，即|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.当m＝0时，直线x＝0与y＝3垂直，也满足|PA|2＋|PB|2＝|AB|2.∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝|AB|22＝12＋322＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.答案：513．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×12＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝18.答案：1814．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于42.证明：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴2x－y－6＝0，x－y－4＝0，解得x＝2，y＝－2，故直线经过的定点为M(2，－2)．(2)过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不可能重合，而|PM|＝42，∴|PQ|42，故所证成立．15．已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；(2)试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大．解：(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则b－0a－2＝－13，3·a＋22－b＋02－1＝0，解得a＝－1，b＝1，所以C′(－1,1)．所以直线AC′的方程为y＝1.由y＝1，3x－y－1＝0得直线AC′与直线l的交点为P23，1，此时|AP|＋|CP|取最小值．(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则n－4m－0＝－13，3·m＋02－4＋n2－1＝0，解得m＝3，n＝3，所以B′(3,3)．所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0.由2x＋y－9＝0，3x－y－1＝0得直线AB′与直线l的交点为Q(2,5)，此时|AQ|－|BQ|取最大值．