【新高考复习】专题3.6 对数与对数函数 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）

专题3.6对数与对数函数新课程考试要求1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.3.了解对数函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象、数学运算（例1.2等）、逻辑推理（例7.8.9.10）、直观想象（例3.4.5）等核心数学素养.考向预测1.对数运算；2.对数函数的图象和性质及其应用；3.除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点.常常与指数函数的性质结合考查对数函数图象和性质的应用，如比较函数值的大小、探究函数的图象等.【知识清单】1．对数及其运算1.对数的概念（1）如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②10alog；③1aloga；（3）对数恒等式alogaN＝N2.对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0).(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.③logaab＝b(a0，且a≠1)2．对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．【考点分类剖析】考点一：对数的化简、求值【典例1】（2021·江西高三其他模拟（文））若135a，则515log15a（）A．1B．1C．15D．3【典例2】（2020·全国高考真题（理））已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．abcB．bacC．bcaD．cab【规律方法】1.对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．2.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【变式探究】1．（2021·浙江高三其他模拟）已知实数a，b，c满足0.42a，0.25b，0.50.4c，则111abcabc（）A．2B．1C．2D．12.【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log3a，34b，22log31c，则下列结论正确的是（）A．acB．2abC．1abcaD．22bcb【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．考点二：对数函数的概念与图象【典例3】（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log(02axyyxaa且0)a的图象可能是（）A．B．C．D．【典例4】（2020·上海高一课时练习）函数yxa与函数logayx在同一坐标系的图像只可能是（）A．B．C．D．【典例5】（2021·浙江金华市·高三期末）在同直角坐标系中，1yaxb与log()ayxb的图象可能是（）A．B．C．D．【总结提升】1.对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2.(1)不管a1还是0a1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．4．对数值logax的符号(x0，a0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0x1,0a1或x1，a1时，logax0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0x1，a1或x1,0a1时，logax0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．【变式探究】1．（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥与𝑦=log|𝑏𝑎|𝑥(𝑎𝑏≠0,|𝑎|≠|𝑏|)在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2021·四川高三三模（理））函数logafxxb及gxbxa，则yfx及()ygx=的图象可能为（）A．B．C．D．3．（2021·四川高三三模（理））函数logafxxb及gxbxa，则yfx及()ygx=的图象可能为（）A．B．C．D．【总结提升】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考点三：对数函数的性质及应用【典例6】（2020·全国高考真题（理））若242log42logabab，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【典例7】（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））设422log8,2ln2,3131xxabc，则（）A．cabB．acbC．bacD．bca【典例8】（2019·北京高考模拟（理））若函数22,1,()log,1,xxfxxx则函数()fx的值域是（）A．(,2)B．(,2]C．[0,)D．(,0)(0,2)【典例9】满足()()0fxfx，且在()0,+?单调递减，若1479a，1597b，21log9c，则()fa，()fb，()fc的大小关系为（）A．()()()fbfafcB．()()()fcfbfaC．()()()fcfafbD．()()()fbfcfa【典例10】【多选题】（2021·山东日照市·高三二模）若实数2t，则下列不等式中一定成立的是（）A．3ln22ln3ttttB．2112ttttC．11log1tttD．12log2log3tttt【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数20.5log(43)yxx的定义域为．【典例12】（2021·浙江高三专题练习）已知函数212()log(23)fxxx，则()fx单调递增区间为__________；若函数yfx在区间(,23)aa上单调，则a的取值范围为__________．【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误.【变式探究】1.（2018·全国高考真题（理））设0.2log0.3a，2log0.3b，则（）A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab2.（2019·山东高考模拟（文））已知1()44xfxxe，若正实数a满足3(log)14af，则a的取值范围为（）A．34aB．304a或43aC．304a或1aD．1a3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R上的函数fx在区间[0，上单调递增，且1yfx的图象关于1x对称，若实数a满足22flogaf＜，则a的取值范围是（）A．10,4B．1,4C．1,44D．4,4.（2021·浙江高三其他模拟）如图为函数fx）的部分图象，已知fx的定义域为R，0fxfx，若lg1fa，则a的取值范围为______．【总结提升】1.解对数不等式的类型及方法（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．（2）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．