您好,欢迎访问三七文档
专题7.4数列求和新课程考试要求1.掌握等差数列、等比数列前n项和公式及其应用..核心素养本节涉及所有的数学核心素养:逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1.等差数列与等比数列综合确定基本量,利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和.2.简单的等差数列、等比数列求和..3.往往以数列求和问题为先导,在解决数列基本问题后考查数列求和,在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合,近几年难度有所降低,.考查公式法求和、“裂项相消法”、“错位相减法”较多.4.复习中注意:(1)灵活选用数列求和公式的形式,关注应用公式的条件;(2)熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法.【知识清单】知识点一.数列求和1.等差数列的前和的求和公式:.2.等比数列前n项和公式一般地,设等比数列的前项和是,当时,qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq;当1q时,1naSn(错位相减法).3.数列前项和①重要公式:(1)123n(2)13521n(3)(4)n11()(1)22nnnaannSnad123,,,,,naaaannS123naaaa1qn1nkk2)1(nn1(21)nkk2n31nkk2333)1(2121nnn21nkk)12)(1(613212222nnnn②等差数列中,mnmnSSSmnd;③等比数列中,nmmnnmmnSSqSSqS.【考点分类剖析】考点一:公式法、分组转化法求和【典例1】(2021·全国高三其他模拟)设数列na的前n项和为nS,且11a,________,在以下三个条件中任选一个填入以上横线上,并求数列1nnaS的前n项和nT.①122nnaS;②121nnaa;③121nnSa.【答案】答案不唯一,具体见解析.【解析】选条件①时,直接利用数列递推关系式求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和;选条件②时,首先利用构造新数列法求出数列的通项公式,进一步用公式法求出求出数列的和;选条件③时,首先利用构造新数列法求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和.【详解】解:选条件①时,因为122nnaS,所以122nnnSSS,所以132nnSS,整理得1131nnSS,所以1nS为首项为2,公比为3的等比数列,所以1123nnS,即1231nnS因为122nnaS,所以112231nnnnaSS,所以数列1nnaS的前n项和011232323111nnT31nn.即31nnTn选条件②时,121nnaa;整理得:1121nnaa,故数列1na是以112a为首项,2为公比的等比数列.所以21nna,故1121nna,所以1112121121nnnnaSnn,所以1nnaS为等差数列,所以数列1nnaS的前n项和312122nnnTnn.选条件③时,由于121nnSa①,当2n时,121nnSa,②,①-②得:13nnaa,所以数列na是以1为首项,3为公比的等比数列,所以1331132nnnS,则131331122nnnnnaSS,所以数列1nnaS的前n项和1213333332222nnT13364nn.即13364nnnT所以13364nnnT.【典例2】(2019·天津高考真题(理))设na是等差数列,nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba,.(Ⅰ)求na和nb的通项公式;(Ⅱ)设数列nc满足111,22,1,,2,kknkknccbn其中*kN.(i)求数列221nnac的通项公式;(ii)求2*1niiiacnN.【答案】(Ⅰ)31nan;32nnb(Ⅱ)(i)221941nnnac(ii)2*211*12725212nnniiiacnnnNN【解析】(Ⅰ)设等差数列na的公差为d,等比数列nb的公比为q.依题意得262426262424124qddqdd,解得32dq,故4(1)331nann,16232nnnb.所以,na的通项公式为31nan,nb的通项公式为32nnb.(Ⅱ)(i)22211321321941nnnnnnnacab.所以,数列221nnac的通项公式为221941nnnac.(ii)22111nniiiiiiiacaac2222111nniiiiiaac2212432nnn1941nii2114143252914nnnn211*2725212nnnnN.【总结提升】1.公式法:如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列(正整数数列、正整数的平方和立方数列等)也可以直接使用公式求和.2.分组转化法求和的常见类型n(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an=bn,n为奇数,cn,n为偶数的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组转化法求和.3.分组转化求和法:有一类数列,它既不是等差数列,也不是等比数列,但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列,则可以将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列,然后分别求和,再将其合并即可.4.倒序相加法:类似于等差数列的前项和的公式的推导方法,如果一个数列na的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法,如等差数列的前项和公式即是用此法推导的.5.并项求和法:一个数列的前项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如1nnafn类型,可采用两项合并求解.例如,22222210099989721nS100999897215050.【变式探究】1.(2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)已知数列na中,11a,121nnaan,nnban.(1)求证:数列nb是等比数列;(2)求数列na的前n项和nS.【答案】(1)证明见解析(2)11222nnnnS【解析】(1)证明:因为121,nnnnaanban所以11121122nnnnnbanannanb,又因为11120ba,则12nnbb,所以数列nb是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知2nnnanb,所以2nnan,nnnnn所以232122232nnSn232222123nn121211221222nnnnnn2.(2021·全国高三其他模拟(文))已知数列na满足12a,111223nnnaa,113nnnba.(1)求证:数列nb是等比数列;(2)设数列na的前n项的和为nS,求证:72nS.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)利用定义法求1nnbb为定值即可;(2)利用分组求和法求得nS,即可得证.【详解】(1)因为12a,111223nnnaa,113nnnba,所以1111111111111322332231112333nnnnnnnnnnnnnnnaaabbaaa,又1111ba,所以数列nb是首项为1,公比为12的等比数列.(2)由(1)得111132nnnnba,所以111123nnna,所以212111111111222333nnnS111111131373222112223221123nnnn.考点二:错位相减法求和【典例3】(2021·陕西高三其他模拟(理))数列na前n项和为nS,11a,11121*()1nnnnaSSnN.(1)求na的通项公式;(2)若nnabn,求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)12nna;(2)1242nnnT.【解析】(1)利用11nnnaSS,将111211nnnnaSS变形,再利用累加法即可解出nS,则可求出na的通项公式.(2)利用错位相减,求出nT即可.【详解】(1)数列na前n项和为nS,11a,111211nnnnaSS①.当1n时,解得22a;①式转换为111111112nnnnnSSSS,整理得:11111112nnnSS,利用叠加法:23121111111111111122222nnnnSSSS,所以111111122nnS,整理得:21nnS(首项符合通项),故112nnnnaSS.(2)由(1)得:nnabn,所以:12nnnb,故21231222nnnT①,231123 22222nnnT②,①-②得:1111 12222nnnnT,整理得:1242nnnT.【典例4】(2019·天津高考真题(文))设na是等差数列,nb是等比数列,公比大于0,已知113ab,23ba,3243ba.(Ⅰ)求na和nb的通项公式;(Ⅱ)设数列nc满足21,,,nnncbn为奇数为偶数求*112222nnacacacnN.【答案】(I)3nan,3nnb;(II)22(21)369()2nnnnN【解析】(I)解:设等差数列na的公差为d,等比数列nb的公比为q,依题意,得23323154qdqd,解得33dq,故33(1)3nann,1333nnnb,所以,na的通项公式为3nan,nb的通项公式为3nnb;(II)112222nnacacac135212142632()()nnnaaaaabababab123(1)[36](6312318363)2nnnnn21236(13233)nnn,记1213233nnTn①则231313233nnTn②②①得,231233333nnnTn113(13)(21)333132nnnnn,所以122112222(21)3336332nnnnnacacacnTn22(21)369()2nnnnN
本文标题:【新高考复习】专题7.4 数列求和 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)解析
链接地址:https://www.777doc.com/doc-12780937 .html