【新高考复习】考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版）

考点34平面向量的概念与线性运算【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】1.向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．2.向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ0时，λa与a方向相同；当λ0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0．(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．3.向量共线定理：如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．1、已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由题知结果为零向量的是①④，故选B.2、设a，b是非零向量，则a＝2b是a|a|＝b|b|成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由a＝2b可知，a，b方向相同，a|a|，b|b|表示a，b方向上的单位向量，所以a|a|＝b|b|成立；反之不成立．故选B.3、已知MP→＝4e1＋2e2，PQ→＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝()A.1B.2C.4D.－1【答案】A【解析】∵M、P、Q三点共线，则MP→与PQ→共线，∴MP→＝λPQ→，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得4＝2λ，2＝λt，解得t＝1.故选A.4、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形ABCD中，//ABCD，2ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设ABa，ADb，则下列结论正确的是()A．12ACabB．12BCabC．1233BMabD．14EFab【答案】．ABD【解析】由题意可得，12ACADDCba，故A正确；1122BCBAACababa，故B正确；2212233333BMBAAMaACababa，故C错误；111244EFEAADDFababa，故D正确．故选：ABD．5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若AM→＝12AB→＋12AC→，则点M是边BC的中点B．若AM→＝2AB→－AC→，则点M在边BC的延长线上C．若AM→＝－BM→－CM→，则点M是△ABC的重心D．若AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝12，则△MBC的面积是△ABC面积的12【答案】ACD【解析】若AM→＝12AB→＋12AC→，则点M是边BC的中点，故A正确；若AM→＝2AB→－AC→，即有AM→－AB→＝AB→－AC→，即BM→＝CB→，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若AM→＝－BM→－CM→，即AM→＋BM→＋CM→＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，AM→＝xAB→＋yAC→，且x＋y＝12，可得2AM→＝2xAB→＋2yAC→，设AN→＝2AM→，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故D正确．故选ACD.6、在△ABC中，||AB→＝||AC→＝||AB→－AC→，则∠BAC＝_____．【答案】60°【解析】∵||AB→－AC→＝||BC→，∴||AB→＝||AC→＝||BC→，得△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.考向一平面向量的有关概念例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|AB→|＝|DC→|，AB→∥DC→且AB→，DC→方向相同，因此AB→＝DC→.③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.变式1、．(多选)给出下列命题，不正确的有()A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B．若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则ABCD为平行四边形C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥bD．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线【答案】ACD【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故选ACD.变式2、给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.baOFEDCBA变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0B.1C．2D．3【答案】D【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．（1）与AB相等的向量有；（2）与CB相等的向量有；（3）与BC共线的向量有．答案：（1）ED，FO，OC；（2）OA,EF,DO；（3）,,,,,,,,CBOAAOODDOADDAEFFE．方法总结：向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．考向二向量的线性运算例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，BD―→＝13BC―→，若AB―→＝a，AC―→＝b，则AD―→＝()A.23a＋13bB．13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA―→－12OB―→－3OC―→＝0，则()A.OA―→＝12AB―→＋3AC―→B．OA―→＝12AB―→－3AC―→C.OA―→＝－12AB―→＋3AC―→D.OA―→＝－12AB―→－3AC―→【答案】(1)A(2)A【解析】(1)∵AB―→＝a，AC―→＝b，BD―→＝13BC―→，∴AD―→－AB―→＝13(AC―→－AB―→)，∴AD―→＝23AB―→＋13AC―→＝23a＋13b.故选A.(2)法一：对于A.OA―→＝12AB―→＋3AC―→＝12(OB―→－OA―→)＋3(OC―→－OA―→)＝12OB―→＋3OC―→－15OA―→，整理，可得16OA―→－12OB―→－3OC―→＝0，这与题干中条件相符合，故选A.法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA―→－12OB―→－3OC―→＝0，所以16OA―→－12OB―→＝0，所以OA―→＝12AB―→＋3AC―→，故选A.变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，AB―→＝c，AC―→＝b，若点D满足BD―→＝2DC―→，则AD―→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD．13b＋23c【答案】A【解析】∵BD―→＝2DC―→，∴AD―→－AB―→＝BD―→＝2DC―→＝2(AC―→－AD―→)，∴3AD―→＝2AC―→＋AB―→，∴AD―→＝23AC―→＋13AB―→＝23b＋13c.变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF→＝()A.－12AB→＋34AD→B.12AB→＋23AD→B.13AB→－12AD→D.12AB→－34AD→【答案】D【解析】DF→＝AF→－AD→，AE→＝AB→＋BE→.∵E为BC的中点，F为AE的中点，∴AF→＝12AE→，BE→＝12BC→，∴DF→＝AF→－AD→＝12AE→－AD→＝12(AB→＋BE→)－AD→＝12AB→＋14BC→－AD→，又BC→＝AD→，∴DF→＝12AB→－34AD→.故选D.变式3、1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→等于()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE→等于()A.12AB→－12AC→B.12AB→＋12AC→C.12AB→－14AC→D.12AB→＋14AC→【答案】1．A2．A【解析】1．作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.2．因为DC＝12AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中点，可得DE→＝12DA→＋12DC→＝12(DC→＋CA→)＋12DC→＝DC→－12AC→＝12AB→－12AC→，故选A.变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是()A．ABADACB．ACCDDOOAC．ABACCDADD．0ACBADA【答案】BC．．【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，ABADAC，A正确；ACCDDOAO，B错误；ABACCDABADAC，C错误；0ACBADABCDA，D正确．故选：BC．变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形ABCD为梯形，其中//ABCD，2ABCD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是()A．