【新高考复习】第5讲　椭　圆

第5讲椭圆一、选择题1.椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值等于()A.5B.3C.5或3D.8解析当m4时，m－4＝1，∴m＝5；当0m4时，4－m＝1，∴m＝3.答案C2.“2m6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆.则有m－20，6－m0，m－2≠6－m，∴2m6且m≠4.故“2m6”是“x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件.答案B3.设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝3.故e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝33.故选D.答案D4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A.3B.6C.9D.12解析抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝ca＝12，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝2b2a＝2×124＝6.故选B.答案B5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ba的值为()A.32B.233C.932D.2327解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax21＋by21＝1，ax22＋by22＝1，即ax21－ax22＝－(by21－by22)，by21－by22ax21－ax22＝－1，b（y1－y2）（y1＋y2）a（x1－x2）（x1＋x2）＝－1，∴ba×(－1)×32＝－1，∴ba＝233，故选B.答案B二、填空题6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.解析由题意知2c＝8，ca＝0.8，解得a＝5，c＝4，又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x29＝1.答案x225＋y29＝1或y225＋x29＝17.(2017·昆明质检)椭圆x29＋y225＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.解析记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).答案(－3，0)或(3，0)8.(2017·乌鲁木齐调研)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________.解析设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得x2＝（2c2－b2）a2c2＝（3c2－a2）a2c2，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝ca∈33，22.答案33，22三、解答题9.设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解(1)根据c＝a2－b2及题设知Mc，b2a，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得ca＝12或ca＝－2(舍去).故C的离心率为12.(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故b2a＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则2（－c－x1）＝c，－2y1＝2，即x1＝－32c.y1＝－1.代入C的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c＝a2－b2代入②得9（a2－4a）4a2＋14a＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝27.10.(2017·兴义月考)已知点M(6，2)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.解(1)由已知得6a2＋2b2＝1，ca＝63，a2＝b2＋c2，解得a2＝12，b2＝4.故椭圆C的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).由y＝x＋m，x212＋y24＝1，消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，则x0＝x1＋x22＝－34m，y0＝x0＋m＝14m，即D－34m，14m.因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，即PD的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2.此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，则|AB|＝2|x1－x2|＝2·（x1＋x2）2－4x1x2＝32，又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝32，所以△PAB的面积为S＝12|AB|·d＝92.11.(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥455，则椭圆离心率e的取值范围是()A.0，55B.0，255C.0，355D.0，455解析依题意，知b＝2，kc＝2.设圆心到直线l的距离为d，则L＝24－d2≥455，解得d2≤165.又因为d＝21＋k2，所以11＋k2≤45，解得k2≥14.于是e2＝c2a2＝c2b2＋c2＝11＋k2，所以0＜e2≤45，解得0＜e≤255.故选B.答案B12.椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则F1P→＝(x＋3，y)，F2P→＝(x－3，y).∵∠F1PF2为钝角，∴F1P→·F2P→0，即x2－3＋y20，①∵y2＝1－x24，代入①得x2－3＋1－x240，即34x22，∴x283.解得－263x263，∴x∈－263，263.答案－263，26313.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析由已知条件易得B－32a，b2，C32a，b2，F(c，0)，∴BF→＝c＋32a，－b2，CF→＝c－32a，－b2，由∠BFC＝90°，可得BF→·CF→＝0，所以c－32ac＋32a＋－b22＝0，c2－34a2＋14b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，∴3c2＝2a2.所以c2a2＝23，则e＝ca＝63.答案6314.(2017·沈阳质监)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点.(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝24，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围.解(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.(2)法一由x2a2＋y2b2＝1，y＝24x，得b2＋18a2x2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝0，x1x2＝－a2b2b2＋18a2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为F2A→＝(x1－3，y1)，F2B→＝(x2－3，y2)，所以F2A→·F2B→＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝1＋18x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有－a2b2b2＋18a2＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，∴e＝32.法二设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x21＋y21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得x21＋y21＝9，y1＝24x1，x21a2＋y21b2＝1.由前两个方程解得x21＝8，y21＝1，将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，故e＝32.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为x212＋y23＝1，由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝y0－y1x0－x1，k2＝y0＋y1x0＋x1，所以k1k2＝y20－y21x20－x21，又y20－y21x20－x21＝31－x2012－31－x2112x20－x21＝－14.即k2＝－14k1，由－2＜k1＜－1可知，18＜k2＜14.故直线PB的斜率k2的取值范围是18，14.