【新高考复习】第9讲　第1课时　直线与圆锥曲线

第1课时直线与圆锥曲线一、选择题1.过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条解析∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条.答案B2.直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是()A.1B.2C.1或2D.0解析因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点.答案A3.经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则OA→·OB→等于()A.－3B.－13C.－13或－3D.±13解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，43，13，∴OA→·OB→＝－13，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA→·OB→＝－13.答案B4.抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为()A.2B.728C.22D.526解析设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝|x－y－2|2＝|－x2＋x－2|2＝－x－122－742，∴x＝12时，dmin＝728.答案B5.(2017·石家庄调研)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)，由题设kOM＝y0x0＝32.由ax21＋by21＝1，ax22＋by22＝1，得（y2＋y1）（y2－y1）（x2＋x1）（x2－x1）＝－ab.又y2－y1x2－x1＝－1，y2＋y1x2＋x1＝2y02x0＝32.所以ab＝32.答案A二、填空题6.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________.解析由题意得c＝2，b2a＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝2，∴椭圆C的方程为x24＋y22＝1.答案x24＋y22＝17.已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________.解析由题设知p＝12a＝2，∴a＝14.抛物线方程为y＝14x2，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.联立y＝14x2，y＝x＋1，消去x，整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.答案88.过椭圆x216＋y24＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________.解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故x2116＋y214＝1，x2216＋y224＝1，两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）16＋（y1＋y2）（y1－y2）4＝0.又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝－34.∴直线AB的方程为y－1＝－34(x－3).即3x＋4y－13＝0.答案3x＋4y－13＝0三、解答题9.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.解(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a，l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1，消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2（c2－b2）a2＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[（x1＋x2）2－4x1x2]，即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.10.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值.解(1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2.解得b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由y＝k（x－1），x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，所以|MN|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝2（1＋k2）（4＋6k2）1＋2k2又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.11.已知椭圆x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()A.1B.2C.32D.3解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a＝3，可求得b2＝3，即b＝3.答案D12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值是()A.33B.23C.22D.1解析如图所示，设P(x0，y0)(y00)，则y20＝2px0，即x0＝y202p.设M(x′，y′)，由PM→＝2MF→，得x′－x0＝2p2－x′，y′－y0＝2（0－y′），解之得x′＝p＋x03，且y′＝y03.∴直线OM的斜率k＝y′x′＝y0p＋y02p＝2p2p2y0＋y0又y0＋2p2y0≥22p，当且仅当y0＝2p时取等号.∴k≤2p22p＝22，则k的最大值为22.答案C13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.解析直线AF的方程为y＝－3(x－2)，联立y＝－3x＋23，x＝－2，得y＝43，所以P(6，43).由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.答案814.已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝8p.所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1).又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3).故MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4（m2＋1）2m2＋1m2.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4（m2＋1）2（2m2＋1）m4.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.