【新高考复习】第3讲　几何概型

第3讲几何概型一、选择题1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为()A.45B.35C.25D.15解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝35.答案B2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A.π3B.πC.2πD.3π解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得SS′＝13，则S＝3π.答案D3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12x＋12≤1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14解析由－1≤log12x＋12≤1，得12≤x＋12≤2，解得0≤x≤32，所以事件“－1≤log12x＋12≤1”发生的概率为322＝34，故选A.答案A4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6D.π8解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝阴影面积长方形面积＝12π×121×2＝π4.答案B5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.π12B.1－π12C.π6D.1－π6解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A.则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部.∴V正方体＝23＝8，V半球＝43π·13×12＝23π.∴P(A)＝23－23π23＝1－π12.答案B6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为1＋26＝12.答案C7.设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D.答案D8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为()A.14B.316C.916D.34解析由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.易知A(4，2)，S正方形＝16，S阴影＝（2＋4）×42＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝S阴影S正方形＝34.答案D9.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜12VS－ABC的概率是()A.78B.34C.12D.14解析当点P到底面ABC的距离小于32时，VP－ABC＜12VS－ABC.由几何概型知，所求概率为P＝1－123＝78.答案A10.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.34＋12πB.12＋1πC.12－1πD.14－12π解析因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝（x－1）2＋y2≤1，即(x－1)2＋y2≤1，即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即P＝14·π·12－12×1×1π·12＝14－12π.答案D二、填空题11.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得2m6＝56，解得m＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m＜4时，由题意得m－（－2）6＝56，解得m＝3.答案312.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.解析因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝13AA1×S△ABD＝16×AA1×S矩形ABCD＝16V长方体，故所求概率为VA－A1BDV长方体＝16.答案1613.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.解析直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝kx的距离小于3.则|5k－0|k2＋1＜3，解之得－34＜k＜34，故所求事件的概率P＝34－－341－（－1）＝34.答案3414.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.解析顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－414×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1.答案4π－115.在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥14的概率是()A.12B.13C.25D.35解析由2x－x2≥14，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.∴所求事件的概率P＝2－（－1）4－（－1）＝35.答案D16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的概率为()A.112B.512C.13D.15解析根据几何概型公式，小于3km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3km的概率为P(A)＝5π12π＝512.答案B17.已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为()A.12B.13C.23D.34解析由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为12.答案A18.(2017·长春质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sinx∈0，12的概率为()A.1πB.2πC.13D.23解析由0≤sinx≤12，且x∈[0，π]，解之得x∈0，π6∪56π，π.故所求事件的概率P＝π－56π＋π6－0π－0＝13.答案C19.(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为()A.117B.217C.317D.417解析∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝434＝217.答案B20.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A.23B.13C.89D.π4解析V圆柱＝2π，V半球＝12×43π×13＝23π，V半球V圆柱＝13，故点P到O的距离大于1的概率为23.答案A21.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤12”的概率，p2为事件“xy≤12”的概率，则()A.p1p212B.p212p1C.12p2p1D.p112p2解析(x，y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤12的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝12×12×121×1＝18，满足xy≤12的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝S1＋S21×1＝12＋S21＞12，所以p1＜12＜p2，故选D.答案D22.在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为()A.1－π8B.1－π4C.1－π2D.1－3π4解析由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a2)－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函数f(x)有零点，所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，故P(A)＝SMSΩ＝4π2－π34π2＝1－π4.答案B23.(2017·安徽江南名校联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于3的概率是________.解析依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于12－322＝12，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于12的地方，所求的概率等于12.答案1224.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝1333＝127.答案12725.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.解析∵去看电影的概率P1＝π×12－π×（12）2π×12＝34，去打篮球的概率P2＝π×（14）2π×12＝116，∴不在家看书的概率为P＝34＋116＝1316.答案131626.随机地向半圆0＜y＜2ax－x2(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于π4的概率为________.解析由0＜y＜2ax－x2(a＞0).得(x－a)2＋y2＜a2.因此半圆域如图所示.设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝A的面积半圆的面积＝14πa2＋12a212πa2＝12＋1π.答案12＋1π