【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第3章 强化训练3　导数中的综合问题

强化训练3导数中的综合问题1．(2020·秦皇岛模拟)如图是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在(－3,1)上，f(x)是增函数B．当x＝1时，f(x)取得极大值C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取得极小值答案C解析根据题意，依次分析选项：对于A，在－3，－32上，f′(x)＜0，f(x)为减函数，错误；对于B，在－32，2上，f′(x)＞0，f(x)为增函数，x＝1不是f(x)的极大值点，错误；对于C，在(4,5)上，f′(x)＞0，f(x)为增函数，正确；对于D，在－32，2上，f′(x)＞0，f(x)为增函数，在(2,4)上，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则当x＝2时，f(x)取得极大值，D错误．2．已知函数f(x)＝13ax3＋12bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R)的单调递增区间是(－3,1)，则()A．abcB．bcaC．bacD．acb答案C解析由题意可得f′(x)＝ax2＋bx＋c，则f′(x)0的解集为(－3,1)，即f′(x)＝a(x＋3)(x－1)＝0，a0，可得b＝2a，c＝－3a，∴bac.3．已知实数x，y满足2x＋2x2y＋2y，则()A．xyB．x＝yC．xyD．x，y的大小不确定答案C解析设f(t)＝2t＋2t，所以f′(t)＝2＋2tln20，所以函数f(t)在R上单调递增，由题意得f(x)f(y)，所以xy.4．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，对于任意的x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤m，则实数m的最小值为()A．0B．2C．4D．6答案C解析对于任意x1，x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤m，即f(x)max－f(x)min≤m，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．当x∈(－1,0)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)单调递减；∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2，∵f(－1)＝－1－3＋2＝－2，f(1)＝1－3＋2＝0，∴f(x)min＝－2，∴m≥f(x)max－f(x)min＝4，即m的最小值为4.5．(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是()A．在区间(2,4)内单调递减B．在区间(2,3)内单调递增C．x＝－3是极小值点D．x＝4是极大值点答案BD解析A项，函数y＝f(x)在区间(2,4)内f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(2,4)上单调递增，故A不正确；B项，函数y＝f(x)在区间(2,3)内的导数f′(x)＞0，则函数f(x)在区间(2,3)上单调递增，故B正确；C项，由图象知当x＝－3时，函数f′(x)取得极小值，但是函数y＝f(x)没有取得极小值，故C错误；D项，当x＝4时，f′(x)＝0，当2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)为增函数，当x4时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)为减函数，则x＝4是函数f(x)的极大值点，故D正确．6．(多选)已知函数f(x)＝x3－2x2－4x－7，其导函数为f′(x)，下列命题中真命题的为()A．f(x)的单调递减区间是23，2B．f(x)的极小值是－15C．当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f(x)＞f(a)＋f′(a)(x－a)D．函数f(x)有且只有一个零点答案BCD解析f(x)＝x3－2x2－4x－7，其导函数为f′(x)＝3x2－4x－4.令f′(x)＝0，解得x＝－23，x＝2，当f′(x)＞0，即x＜－23或x＞2时，函数单调递增，当f′(x)＜0，即－23＜x＜2时，函数单调递减；故当x＝2时，函数有极小值，极小值为f(2)＝－15，当x＝－23时，函数有极大值，极大值为f－23＜0，故函数只有一个零点，A错误，BD正确；当a2时，对任意的x2且x≠a，恒有f(x)f(a)＋f′(a)(x－a)，即f(x)－f(a)－f′(a)(x－a)＝x3＋2a3－2x2－2a2－3a2x＋4ax0在x2，a2且x≠a上恒成立，设g(x)＝f(x)－f(a)－f′(a)(x－a)，g′(x)＝3x2－4x－3a2＋4a，令h(x)＝g′(x)，h′(x)＝6x－4，令h′(x)0，x23，∴g′(x)在(2，＋∞)上单调递增，又因为g′(a)＝0，所以当2xa时，g′(x)0，当xa时，g′(x)0，所以g(x)在(2，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，又x≠a，所以g(x)g(a)＝0，所以恒有f(x)f(a′)＋f′(a)·(x－a)．故C正确．7．已知函数f(x)＝(x2－a)ex在区间[1,2]上单调递增，则a的取值范围是________．答案(－∞，3]解析f′(x)＝(x2＋2x－a)ex≥0在区间[1,2]上恒成立，则x2＋2x－a≥0在区间[1,2]上恒成立，即a≤(x2＋2x)min＝12＋2＝3，所以a的取值范围是(－∞，3]．8．设x＝θ是函数f(x)＝3cosx＋sinx的一个极值点，则cos2θ＋sin2θ＝________.答案910解析因为函数f(x)＝3cosx＋sinx，所以f′(x)＝－3sinx＋cosx，因为x＝θ是函数f(x)＝3cosx＋sinx的一个极值点，所以f′(θ)＝－3sinθ＋cosθ＝0，tanθ＝13，所以cos2θ＋sin2θ＝cos2θcos2θ＋sin2θ＝11＋tan2θ＝910.9．若直线y＝2x＋b是曲线y＝2alnx的切线，且a0，则实数b的最小值是________．答案－2解析y＝2alnx的导数为y′＝2ax，由于直线y＝2x＋b是曲线y＝2alnx的切线，设切点为(m，n)，则2am＝2，∴m＝a，又2m＋b＝2alnm，∴b＝2alna－2a(a＞0)，b′＝2(lna＋1)－2＝2lna，当a1时，b′0，函数b＝2alna－2a(a＞0)单调递增，当0＜a＜1时，b′0，函数b＝2alna－2a(a0)单调递减，∴a＝1为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为2ln1－2＝－2.10．若函数f(x)＝ex－ax的极值为1，则实数a的值为________．答案1解析由已知可得f′(x)＝ex－a.当a≤0时，对任意的x∈R，f′(x)0，此时函数f(x)在R上单调递增，函数f(x)无极值；当a0时，令f′(x)0，可得xlna，此时函数f(x)单调递减．令f′(x)0，可得xlna，此时函数f(x)单调递增．所以函数f(x)＝ex－ax的极小值为f(lna)＝elna－alna＝a－alna＝1，令g(a)＝a－alna，则a0且g(1)＝1，g′(a)＝－lna.当0a1时，g′(a)0，函数g(a)单调递增；当a1时，g′(a)0，函数g(a)单调递减．所以g(a)≤g(1)＝1，由于g(a)＝a－alna＝1，所以a＝1.11．已知函数f(x)＝13x3－bx2＋2x＋a，x＝2是f(x)的一个极值点．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若当x∈[1,3]时，f(x)－a223恒成立，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝x2－2bx＋2.∵x＝2是f(x)的一个极值点，∴x＝2是方程x2－2bx＋2＝0的一个根，解得b＝32.令f′(x)0，则x2－3x＋20，解得x1或x2.∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)．(2)∵当x∈(1,2)时，f′(x)0，x∈(2,3)时，f′(x)0，∴f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增．∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值，且f(2)＝23＋a.若当x∈[1,3]时，要使f(x)－a223恒成立，只需f(2)a2＋23，即23＋aa2＋23，解得0a1.∴实数a的取值范围为(0,1)．12．已知函数f(x)＝12ax2－x·lnx＋b(a，b∈R)，g(x)＝f′(x)．(1)判断函数y＝g(x)的单调性；(2)若x∈(0，e](e≈2.718…)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解(1)由f(x)＝12ax2－x·lnx＋b，知g(x)＝f′(x)＝ax－lnx－1，x0，故g′(x)＝a－1x＝ax－1x.当a≤0时，g′(x)0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a0时，在0，1a上，g′(x)0，在1a，＋∞上，g′(x)0，所以g(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增．(2)当a≤0时，g(x)在(0，e]上单调递减，所以g(x)min＝g(e)＝ea－2≤－2.故不存在最小值2.当0a≤1e时，1a≥e，g(x)在(0，e]上单调递减，所以g(x)min＝g(e)＝ea－1－lne＝2，所以a＝4e，不符合题意，舍去．当a1e时，01ae，在0，1a上g′(x)0，函数g(x)单调递减；在1a，e上g′(x)0，函数g(x)单调递增，由此g(x)min＝g1a＝1－1－ln1a＝2，所以lna＝2.解得a＝e2，故当a＝e2时，函数g(x)的最小值为2.13．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为283π立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为()A．1B.32C.34D．2答案C解析由题意知V＝πr2l＋12×43πr3＝πr2l＋23πr3＝283π，故l＝283π－23πr3πr2＝283r2－23r＝28－2r33r2，由l0可知r314.∴建造费用y＝(2πrl＋πr2)×3＋12×4πr2×4＝6πr×28－2r33r2＋11πr2＝56πr＋7πr2(0r314)，则y′＝14πr－56πr2＝14πr3－4r2.当r∈(0，34)时，y′0，r∈(34，314)时，y′0.∴当r＝34时，该容器的建造费用最小．14．设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)2，f(0)＝2021，则不等式exf(x)2ex＋2019(其中e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞)B．(2019，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(2019，＋∞)答案C解析设g(x)＝ex[f(x)－2]，所以g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－2]，因为f(x)＋f′(x)2，所以g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－2]0，所以g(x)在R上单调递减，且g(0)＝1×[f(0)－2]＝2019，又因为exf(x)2ex＋2019等价于g(x)2019，所以原不等式的解集为(－∞，0)．15．某数学兴趣小组对形如f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是()A．函数f(x)的图象过点(2,1)B．函数f(x)在x＝0处有极值C．函数f(x)的单调递减区间为[0,2]D．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称答案D解析对于A选项，f(2)＝8＋4a＋2b＋c＝1；对于B选项，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(0)＝b＝0；对于C选项，由单调递减区间可得f′(0)＝b＝0，f′(2)＝12＋4a＋b＝0，因为有且仅有一个选项错误，所以B，C正确；所以a＝－3，b＝0.对于D选项，函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，则有f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可赋值得到：当x＝0时，2f(1