【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5.1　平面向量的概念及线性运算

§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.微思考1．三角形加法法则的推论是什么？提示一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2—→＋A2A3—→＋A3A4—→＋…＋An－1An＝A1An—→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．中点公式的向量形式是什么？提示中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)(3)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．(√)题组二教材改编2．(多选)下列命题中，正确的是()A.若a与b都是单位向量，则a＝bB．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量C．若用有向线段表示的向量AM→与AN→不相等，则点M与N不重合D．海拔、温度、角度都不是向量答案CD解析A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴，y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．3．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→答案D解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.4．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.题组三易错自纠5．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．6．(多选)下列四个命题中，错误的是()A．若a∥b，则a＝bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若|a|＝|b|，则a∥bD．若a＝b，则|a|＝|b|答案ABC题型一平面向量的概念1．(多选)给出下列命题，其中叙述错误的命题为()A．向量AB→的长度与向量BA→的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同答案BCD解析对于A，向量AB→与向量BA→，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|答案C解析因为向量a|a|的方向与向量a方向相同，向量b|b|的方向与向量b方向相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．3．(多选)下列命题中错误的有()A．平行向量就是共线向量B．相反向量就是方向相反的向量C．a与b同向，且|a||b|，则abD．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件答案BC解析由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确的．4．(多选)下列命题正确的有()A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→”⇔“四边形ABCD是平行四边形”答案AD解析方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的点，AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD对边平行且相等，反之也成立，故D正确．思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a||b|答案A解析方法一利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，|AC→|＝|DB→|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.方法二∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.命题点2向量的线性运算例2(2020·合肥质检)在△ABC中，BD→＝13BC→，若AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于()A.23a＋13bB.13a＋23bC.13a－23bD.23a－13b答案A解析方法一如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.方法二AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.方法三由BD→＝13BC→，得AD→－AB→＝13(AC→－AB→)，所以AD→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3(2021·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB→＝2DC→，点E是线段BC→的中点，若AE→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ＝________.答案54解析取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12(FC→－FB→)＝AB→＋12AD→－12AB→＝34AB→＋12AD→，所以λ＝34，μ＝12，则λ＋μ＝54.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→等于()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案A解析作出示意图如图所示．EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.故选A.(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB→＝xAE→＋yAF→(x，y∈R)，则x－y＝______.答案2解析由题意得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，因为AB→＝xAE→＋yAF→，所以AB→＝x＋y2AB→＋x2＋yAD→，所以x＋y2＝1，x2＋y＝0，解得x＝43，y＝－23，所以x－y＝2.题型三共线定理的应用例4设两向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB→，AC→共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练2(1)(2021·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()A．λμ＝1B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1D．λ＋μ＝2答案A解析∵AB→与AC→有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使AB→＝tAC→，即λa＋b＝ta＋μtb，则λ＝t，μt＝1，消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB→＝1μa＋b，此时存在实数1μ使AB→＝1μAC→，故AB→和AC→共线．∵AB→与AC→有公共点A，∴A，B，C三点共线，故选A.(2)(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－