【新高考复习】2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第5章 §5.4　复　数

§5.4复数考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识.3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算．1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ→＝OZ1—→＋OZ2—→，Z1Z2—→＝OZ2—→－OZ1—→.微思考1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．i的乘方具有周期性吗？提示in＝1，n＝4k，i，n＝4k＋1，－1，n＝4k＋2，－i，n＝4k＋3(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)题组二教材改编2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.3．在复平面内，向量AB→对应的复数是2＋i，向量CB→对应的复数是－1－3i，则向量CA→对应的复数是()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i答案D解析CA→＝CB→＋BA→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.4．若复数z满足()3＋4iz＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z等于()A．－15－75iB．－15＋75iC．－125－725iD．－125＋725i答案D解析由题意可得z＝1－i3＋4i＝1－i3－4i3＋4i3－4i＝－1－7i25，所以z＝－125＋725i，故选D.题组三易错自纠5．已知a＋bi(a，b∈R)是1－i1＋i的共轭复数，则a＋b等于()A．－1B．－12C.12D．1答案D解析由1－i1＋i＝1－i1－i1＋i1－i＝－i，得a＋bi＝i，由复数相等得a＝0，b＝1，从而a＋b＝1.6．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于________．答案2解析因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.题型一复数的概念1．(2020·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝1－i，则z等于()A．1－iB．1＋iC．－iD．i答案D解析因为z＝1－i1＋i＝1－i21＋i1－i＝－i，所以z＝i.2．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于()A．0B．1C.2D．2答案D解析方法一z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.方法二|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.3．已知i为虚数单位，则复数z＝3＋i1－ii的虚部为()A．iB．2C．－1D．－i答案C解析因为3＋i1－ii＝3＋i1＋i2i＝1＋2ii＝2－i，所以z的虚部为－1.4．(2020·郑州质检)若复数1＋2ai2－i(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A．1B．－1C.16D．－16答案C解析因为1＋2ai2－i＝1＋2ai2＋i2－i2＋i＝2－2a5＋1＋4a5i，所以由题意，得2－2a5＝1＋4a5，解得a＝16.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．题型二复数的四则运算例1(1)(2020·新高考全国Ⅰ)2－i1＋2i等于()A．1B．－1C．iD．－i答案D解析2－i1＋2i＝2－i1－2i1＋2i1－2i＝－5i5＝－i.(2)(多选)(八省联考)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是()A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若z2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2答案BC解析由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又z2＝z3，所以|z2|＝|z2|＝|z3|，故C正确，令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故选BC.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练1(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.(2)(2020·乌鲁木齐模拟)已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2＋2z－1等于()A．2＋2iB．2－2iC．2iD．－2i答案B解析z2＋2z－1＝1＋i2＋21＋i－1＝2＋2ii＝2＋2i－i－i2＝2－2i.(3)(2020·武汉模拟)1－i20211＋i＝________.答案－i解析1－i20211＋i＝1－i1＋i＝1－i21－i1＋i＝－2i2＝－i.题型三复数的几何意义例2(1)(2019·全国Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析z＝－3－2i，故z对应的点(－3，－2)位于第三象限．(2)(2019·全国Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.(3)(2020·全国Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.答案23解析方法一设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝3＋i，所以2z1＝(3＋a)＋(1＋b)i,2z2＝(3－a)＋(1－b)i.因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以3＋a2＋1＋b2＝4，①3－a2＋1－b2＝4，②①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝a2＋b2＝23.方法二设复数z1，z2在复平面内分别对应向量OA→，OB→，则z1＋z2对应向量OA→＋OB→.由题意知|OA→|＝|OB→|＝|OA→＋OB→|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量BA→，且|OA→|＝|AC→|＝|OC→|＝2，可得|BA→|＝2|OA→|sin60°＝23.故|z1－z2|＝|BA→|＝23.思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．跟踪训练2(1)(2020·东北三省三校模拟)设i是虚数单位，则复数11＋i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析11＋i＝1－i1＋i1－i＝12－12i，则复数11＋i对应的点为12，－12，在第四象限，故选D.(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z，则z＋4z表示的复数为()A．1＋3iB．－3－iC．3－iD．3＋i答案D解析由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋4z＝1－i＋41－i＝1－i＋41＋i1－i1＋i＝1－i＋4＋4i2＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.如图的复平面中，r＝a2＋b2，cosθ＝ar，sinθ＝br，tanθ＝ba(a≠0)．任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cosθ＋isinθ)的形式．我们把r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式．对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．z1z2＝r1r2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．例1下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.解(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z1＝2(－cosθ－isinθ)．复平面上点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将辐角变换到第三象限．∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上点Z2(cosθ，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将辐角变换到第四象限．∵z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将辐角变换到第二象限．∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cosπ2＋θ＋isinπ2＋θ.例2(1)已知z∈C，|z|＝1，且z2≠－1，则复数zz2＋1()A．必为纯虚数B．是虚数但不一定是纯虚数C．必为实数D．可能是实数也可能是虚数答案C解析设z＝cosθ＋isinθθ∈R，且θ≠kπ＋π2，则zz2＋1＝cosθ＋isinθcos2θ＋isin2θ＋1＝cosθ＋isinθ2cos2θ＋i·2sinθ·cosθ＝12cosθ∈R.(2)设πθ5π4，则复数cos2θ＋isin2θcosθ－isinθ的辐角的主值为()A．2π－3θB．3θ－2πC．3θD．3θ－π答案B解析cos2θ＋isin2θcosθ－isinθ＝cos2θ＋isin2θcos－θ＋isin－θ＝cos3θ＋isin3θ.∵πθ5π4，∴3π3θ