【新高考复习】考向25 平面向量的数量积及其应用（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（

考向25平面向量的数量积及其应用1．（2021·全国高考真题）已知向量0abc，1a，2bc，abbcca_______．【答案】92【分析】由已知可得20abc，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得22222920abcabcabbccaabbcca，因此，92abbcca.故答案为：92.2．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E．//DFAB且交AC于点F,则|2|BEDF的值为____________；()DEDFDA的最小值为____________．【答案】11120【分析】设BEx，由222(2)44BEDFBEBEDFDF可求出；将()DEDFDA化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BEx，10,2x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，30,2,3,12BDEBDxDExDCx，//DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx，|2|1BEDF，2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx，所以当310x时，()DEDFDA的最小值为1120.故答案为：1；1120.1.平面向量数量积的类型及求法：(1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab||||cosab；二是坐标公式ab1212xxyy.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.2.平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos||||abab(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：(1)向量与平面几何综合问题的解法①坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．②基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底．(2)用向量解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.4．利用向量求解三角函数问题的一般思路：(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解．(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题．(4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理或正、余弦定理解决问题.5．用向量法解决物理问题的步骤如下：(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.6．常见的向量表示形式：(1)重心．若点G是ABC△的重心，则GAGBGC0或1()3PGPAPBPC=(其中P为平面内任意一点)．反之，若GAGBGC0，则点G是ABC△的重心．(2)垂心．若H是ABC△的垂心，则HAHBHBHCHCHA.反之，若HAHBHBHCHCHA，则点H是ABC△的垂心．(3)内心．若点I是ABC△的内心，则||||||BCIACAIBABIC0.反之，若||||BCIACA||IBABIC0，则点I是ABC△的内心．(4)外心．若点O是ABC△的外心，则()()()0OAOBBAOBOCCBOCOAAC或||||||OAOBOC.反之，若||||||OAOBOC，则点O是ABC△的外心.1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,ab，我们把数量||||cosab叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab,即ab||||cosab，其中θ是a与b的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ，则||cosa(||cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形，其中1OB||cosa，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是向量1OB的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上的投影||cosb的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量,,abc和实数,则①交换律：abba；②数乘结合律：()()abab=()ab；③分配律：()abc=acbc【知识拓展】1.设非零向量1122(,),(,)xyxyab，是a与b的夹角.（1）数量积：ab1212||||cosxxyyab.（2）模：2211||xyaaa.（3）夹角：cos||||abab121212122222xxyyxyxy.（4）垂直与平行：0abab12120xxyy；a∥b⇔a·b=±|a||b|.【注】当a与b同向时,||||abab；当a与b反向时,ab||||ab.（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔121212222212||xxyyxyxy2.平面向量的模及其应用的类型与解题策略：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||aaaa，或坐标公式22||xya的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用.1．（2021·内蒙古高三二模（理））在平行四边形ABCD中，已知两邻边满足AD＝2AB＝2，且3ABC，E为BC的中点，F是CD中点，则AEAF（）A．1B．32C．54D．32．（2021·山东菏泽市·高三二模）（多选题）已知平面向量a，b，c，若a，b是夹角为 π  3的两个单位向量，0acbc，,abc，则下列结论正确的有（）A．3cB．3cC．6cos3D．6cos33．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量(1,0)a，(,1)bx，b在a上投影为3，则x___________.4．（2020·新疆高三三模（文））已知向量,2am，3,6b，若abab，则实数m的值是________．1．（2021·广东高一期末）已知非零向量a，b满足4ba，且2aab，则a与b的夹角为（）A．3B．2C．23D．562．（2021·湖南高三其他模拟）已知平面向量ab与ab的模长之比为3:1，且夹角为90，则ab与a的夹角为（）A．30B．60C．120D．1503．（2021·密山市第一中学高一其他模拟）设向量1,0a，11,22rb，则下列结论中正确的是（）A．abB．22abC．ab与b垂直D．//abrr4．（2021·福建高三其他模拟）向量1,2a，,1bx．若abab，则x（）．A．2B．2C．2D．25．（2021·四川双流中学高三三模（理））在△ABC中，2BCBAACAC，则△ABC的形状一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，在矩形ABCD中，2AB，1AD，E为边DC的中点，F为BE的中点，则AFAEuuuruuur（）A．3B．2C．32D．127．（2021·四川高三二模（文））图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若4AD，2BD，那么BECD（）A．2B．2C．6D．68．（2021·河南高二其他模拟（理））已知单位向量i，j互相垂直，且aij，2bji，若abrr，则ab___________.9．（2021·上海高三其他模拟）已知向量2,0ar，3,4b，则向量a在b方向上的投影为___________.10．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模（理））已知向量,ab的夹角为120°，2,1ab，若(3)(2)abab，则实数λ=___________.11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知向量222,2,,,4aabbaab，则b___________.12．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量a与b，满足21ab，则a与b的夹角为__________；若向量c满足202abc（，），则c的取值范围是__________．1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量,,abc，则“acbc”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．（2020·全国高考真题（理））已知向量aba，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A．3135B．1935C．1735D．19353．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．2abB．2abC．2abD．2ab4．（2021·北京高考真题）(2,1)a，(2,1)b，(0,1)c，则()abc_______；ab_______．5．（2020·北京高考真题）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足1()2APABAC，则||PD_________；PBPD_________．6．（2021·全国高考真题（文））若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.7．（2021·浙江高考真题）已知平面向量,,,(0)abcc满足1,2,0,0abababc.记向量d在,ab方向上的投影分别为x，y，da在c方向上的投影为z，则222xyz的最小值为___________.8．（2021·全国高考真题（理））已知向量3,1,1,0,abcakb．若ac，则k________．9．（2020·浙江高考真题）设1e，2e为单位向量，满足21|22|ee，12aee，123bee