数学-2024届新高三开学摸底考试卷（上海专用）（考试版）

2024届新高三开学摸底考试卷（上海）本试卷共21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题：本题共12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分。1．设集合213,log3AxxBxx，则AB__________.2．复数21iz，则z__________．3．61122xxx的展开式中2x的系数是______．4．已知平面向量(2,1)a，b为单位向量，且2abab，则向量b在向量a上的投影向量的坐标为______.5．在一次高二数学联考中，某校数学成绩2~80,XN．已知(6080)0.25PX，则从全校学生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________．6．函数202320231cos1cosyxx，2π2π,33x的值城为______．7．若函数322fxxxxR是奇函数，则曲线yfx在点,f处的切线方程为______．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，,AB分别为圆柱上､下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若底面圆的半径为2，2,2PAAB，则圆柱的外接球的表面积与圆锥的侧面积的比值是______.9．已知函数()2cos(3)fxx的图象关于点4π,03对称，那么的最小值为________．10．已知曲线1C：2yx与曲线2C：22()4xay恰有两个公共点，则实数a的取值范围为__________.11．已知等比数列na的首项10a，公比0q，244aa，且212nnnaaa，则na的前2023项和为______.12．若函数()fx的图象上存在不同的两点1122,,,MxyNxy，坐标满足关系：222212121122xxyyxyxy，则称函数fx与原点关联．给出下列函数：①()2fxx；②()sinfxx；③1()(0)fxxxx；④()lnfxx．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．二、选择题：本题共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目13．已知两个平面，，及两条直线l，m．则下列命题错误的是（）A．若，l，m，lm，则lB．若l，//，m，则lmC．若l，m，//m，//l，则//D．若l，m是异面直线，l，//l，m，//m，则//14．函数sinπlneexxyx在区间π,π上的图象大致为（）A．B．C．D．15．下列说法不正确的是（）A．甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18B．设一组样本数据1x，2x，…，nx的方差为2，则数据14x，24x，.…，4nx的方差为32C．在一个22列联表中，计算得到2的值，则2的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大D．已知随机变量2~(2,)N，且(4)0.8P，则(04)0.6P16．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：111121231CCCCCnn､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（）A．320232C2B．320242C2C．42024C2D．42023C2三、解答题：共14+14+14+18+18=70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知sin,cosaxx，cos,3cosbxx，其中0，函数32fxaba的最小正周期为π.(1)求函数fx的单调递增区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足322Af，求ab的取值范围.18．如图，已知三棱柱111ABCABC-，90ACB，11ACAC，D为线段1AC上的动点，1ACBD．(1)求证：平面11ACCA平面ABC；(2)若1AAAC，D为线段1AC的中点，22ACBC，求1BD与平面1ABC所成角的正弦值．19．浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数123人数204040(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；(3)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到的数据如下表：（定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生）性别纯理科生非纯理科生总计男性30女性5总计100请补齐表格，并说明依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关．参考公式：22nadbcabcdacbd，其中nabcd．附表：0.100.050.0100.001x2.7063.8416.63510.82820．已知椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为1F、2F，离心率32e，1A、2A分别为椭圆C的左、右顶点，且12||4AA.(1)求椭圆C的方程；(2)若O为坐标原点，过2F的直线l与椭圆C交于A、B两点，求OAB面积的最大值；(3)若椭圆上另有一点M，使得直线1MA与2AB斜率1k、2k满足212kk，请分析直线BM是否恒过定点.21．已知关于x方程(12)cos22axx在区间1,02内有且只有一个解.(1)求实数a的取值范围；(2)如果函数()sincosln(12)fxaxxx，求证：()fx在π0,2上存在极值点0x和零点1x；(3)对于（2）中的0x和1x，证明：01(12)cos2axx.