第9章 平面解析几何 第5节 椭圆 第一课时　椭圆及其性质

第5节椭圆考试要求1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b21.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b21；(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b21.2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.3.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝2b2a.5.AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－b2x0a2y0.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.()(4)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相同.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2，所以e越大，则ba越小，椭圆就越扁.2.(易错题)(2022·济南联考)“2m6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示的曲线为椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析若方程x2m－2＋y26－m＝1表示的曲线为椭圆，则m－20，6－m0，m－2≠6－m，解得2m6，且m≠4，故“2m6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.6答案C解析由椭圆C：x29＋y24＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤|MF1|＋|MF2|22＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.4.(2021·洛阳模拟)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A.长轴长为12B.焦距为34C.短轴长为14D.离心率为32答案D解析把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2116＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，则长轴长2a＝1，焦距2c＝32，短轴长2b＝12，离心率e＝ca＝32.5.(易错题)已知椭圆x25＋y2m＝1(m0)的离心率e＝105，则m的值为________.答案3或253解析若a2＝5，b2＝m，则c＝5－m.由ca＝105，即5－m5＝105，解得m＝3.若a2＝m，b2＝5，则c＝m－5.由ca＝105，即m－5m＝105，解得m＝253.综上，m＝3或253.6.(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.第一课时椭圆及其性质考点一椭圆的定义及其应用1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案A解析连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.2.(2022·合肥模拟)已知F是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，椭圆E上一点P(2，1)关于原点的对称点为Q，若△PQF的周长为42＋25，则a－b＝()A.2B.22C.3D.32答案A解析根据椭圆的对称性及椭圆的定义可知，△PQF的周长为2a＋2×22＋12＝2a＋25.又△PQF的周长为42＋25，所以2a＝42，解得a＝22.又点P(2，1)在椭圆上，所以22（22）2＋12b2＝1，解得b＝2，所以a－b＝2.3.设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________.答案433解析由题意知，c＝a2－4.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2a2－4，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P|·|PF2|－2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2－16，∴|F1P|·|PF2|＝163，∴S△PF1F2＝12|F1P|·|PF2|sin60°＝12×163×32＝433.4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________.答案6＋26－2解析椭圆方程化为x29＋y25＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，∴|AF1|＝2，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－2≤|PA|＋|PF|≤6＋2.感悟提升1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系.考点二椭圆的标准方程例1(1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(3)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.答案(1)B(2)y210＋x26＝1(3)y220＋x24＝1解析(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，由F2(1，0)，AF2→＝2F2B→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n0，m≠n).由－322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110，∴椭圆方程为y210＋x26＝1.(3)法一(待定系数法)设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k＋（3）29－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二(定义法)椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.感悟提升根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.(3)椭圆系方程①与x2a2＋y2b2＝1共焦点的椭圆系为x2a2－k＋y2b2－k＝1(kb2).②与x2a2＋y2b2＝1有共同的离心率的椭圆系为x2a2＋y2b2＝λ或y2a2＋x2b2＝λ(λ0).训练1(1)与椭圆x23＋y22＝1有相同离心率且经过点(3，2)的椭圆标准方程为______________.(2)(2021·赣中南五校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点(0，3)，过其中一焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若|AB|＝1，则椭圆C的标准方程为()A.x2＋y23＝1B.x23＋y2＝1C.x236＋y23＝1D.x23＋y236＝1答案(1)x26＋y24＝1或y2132＋x2133＝1(2)C解析(1)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x23＋y22＝a(a0)，将点(3，2)代入，得a＝2.故所求椭圆的标准方程为x26＋y24＝1.若焦点在y轴上，设所求椭圆方程为y23＋x22＝λ(λ0)，将点(3，2)代入，得λ＝136.故所求椭圆方程为y2132＋x2133＝1.(2)由题意知，椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).由椭圆C经过点(0，3)，得b＝3.不妨设A(c，y1)，代入椭圆方程得c2a2＋y21b2＝1，解得y21＝b4a2，所以|AB|＝2b2a＝1，由此解得a＝6，所以椭圆C的标准方程为x236＋y23＝1.考点三椭圆的几何性质角度1椭圆的离心率例2(1)(2022·昆明诊断)已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，M是椭圆短轴的端