第06节 指对幂函数-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）（解析版）

第6节指对幂函数（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题1．瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：eaRTEkA，其中k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，aE为反应活化能，(0)AA为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为1T和2T时，反应速率常数分别为1k和2k（此过程中R与aE的值保持不变），经计算1aEMRT，若212TT，则12lnkk（）A．2MB．MC．MD．2M【答案】A【解析】由题意知：1212212ee,eeeaaaMRTRTREMEETkAAkAAA，1222eeeMMMkAkA，则1222lnlenMkMk.故选：A.2．设3log2a，132b，27log4c，则,,abc的大小关系是（）A．bcaB．acbC．cabD．cba【答案】C【解析】因为89，故3223即2323，故23332log2log33，故ab而32log23c，且330log2log31，故332log2log23ca，故cab，故选：C3．定义矩阵运算abxaxbycdycxdy，则lg4lg51lg8lg22（）A．lg505lg2B．25lg2C．lg504lg2D．24lg2【答案】B【解析】lg4lg51lg42lg5lg1002lg8lg22lg82lg2lg325lg2．故选：B．4．已知,mnR，则“1122loglogmn”是“3333mmnn”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】1122loglog0mnmnQ，又33fxxx为增函数，故3333mmnnmn1122oggllomn“”是3333“mmnn”的充分不必要条件．故选：A．5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg20lgLDF，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：lg20.3，lg40.6）（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【答案】C【解析】设L是变化后的传输损耗，F是变化后的载波频率，D¢是变化后的传输距离，则18LL，2FF，1820lg20lg20lg20lg20lg20lgDFLLDFDFDF，则20lg1820lg212DD，即lg0.6lg4DD，从而4DD，即传输距离增加了约3倍，故选：C．6．设113232,log2,3abc，则,,abc的大小关系是（）A．abcB．acbC．cabD．cba.【答案】C【解析】由题设3383ac且,c0a，则ca，故13331log22cab.故选：C7．科学记数法是一种记数的方法.把一个数x表示成a与10的n次幂相乘的形式，其中110a，nN.当0x时，lglgxka.若lg20.301，则数列2n中的项是七位数的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】数列2n中的项是七位数的满足6710210n，同时取对数得6lg27n，所以67lg2lg2n，由已知lg20.301，代入得2023n，且nN，所以符合条件的n值又4个，数列2n中的项是七位数的有4个.故选：B.8．已知11e2,e,xyz，则,,xyz的大小关系为（）A．xyzB．xzyC．yxzD．yzx【答案】D【解析】由11e2,e,xyz，得111lnln2,lne,ln2exyz，令ln0xfxxx，则21ln0xfxxx，当0ex时，0fx，当ex时，0fx，所以函数fx在0,e上递增，在e,上递减，又因11lnln2ln424x，e34,且e,3,4e,，所以e34fff，即lnlnlnyzx，所以yzx.故选：D.9．若0.2=0.2a，0.30.3b，0.3log0.2c，则（）A．abcB．bacC．cabD．cba【答案】C【解析】由题得0.30.3log0.2log0.31c，0.200=0.20.21a，0.300=0.30.31b，所以,cacb.a＝0.20.21251010111552510401000，b31010327101000，显然，a的被开方数大于b的被开方数，∴a＞b，故有c＞a＞b.故选：C10．定义在R上的函数fx满足2fxfx，当1x时，221log21xxfx，设22log5af，0.62bf，3tan652cf，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．cbaC．bcaD．cab【答案】D【解析】由2fxfx知：fx关于直线x=1对称.当1x时，22212loglog12121xxxfx，由复合函数的单调性知：fx在1,上单调递增.又33tan652tan6522cff，而3372tan652tan603222，222log5log52,3，0.621,2，所以cab.故选：D.11．科学记数法是一种记数的方法.把一个数x表示成a与10的n次幂相乘的形式，其中110a，nN.当0x时，lglgxna.若一个正整数m的15次方是11位数，那么这个数是（）（参考数据：lg20.30，lg30.48）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由题意可设15lglgmna，因为正整数m的15次方是11位数，所以10n，所以15lg10lgma，因为110a，所以0lg1a，所以1015lg11m，则211lg315m，则2112lg2lg4lglg2lg3lg6315m，所以46m，所以正整数m为5.故选：B.12．已知数列na满足11a，12nnnaaa，记11nnba，若存在m，*nN，使得22loglog6mnbb，则86mmn的最小值为（）A．83B．103C．114D．145【答案】C【解析】由12nnnaaa两边取倒数可得12121nnnnaaaa，则11211221nnnaaa，所以数列nb是首项为1112a，公比为2的等比数列，所以2nnb．又222logloglog6mnmnbbbb，所以622mnmnbb，即6mn，所以86991191191066mmnmnmnmnmnnmnmnm．又9926mnmnnmnm，当且仅当9mnnm，即32m，92n时，等号成立．因为m，*nN，所以等号取不到，则当1m，5n时，86145mmn；当2m，4n时，86114mmn，所以当2m，4n时，86mmn取得最小值114，故选：C．二、填空题13．一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg20.3010，lg30.4771，精确到0.1h）【答案】6.6【解析】设xh后血液中的药物量为ymg，则有020001100xy，令1000y得：lg20.30106.612lg3120.4771x故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.故答案为：6.614．若323log23axfxaxx为奇函数，则实数a______．【答案】2【解析】令23log23axgxx．因为3yax为奇函数，所以gx必为奇函数，则0gxgx，即2233loglog02323axaxxx，整理得222994axx，则24a，解得2a或2a．当2a时，3232log223xfxxx无意义，舍去；当2a时，3232log223xfxxx的定义域为33,,22，符合题意.故答案为：2.15．已知42log41logxyxy，则2xy的最小值为__________.【答案】322【解析】因为42log41logxyxy，所以444log41loglog4xyxyxy，所以44xyxy，故1114xy，且0,0xy，所以11323232222424242yxyxxyxyxyxyxy，当且仅当24yxxy，即2221,24xy时，取等号，所以2xy的最小值为322.故答案为：322.16．某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限()0rr，劳累程度(01)TT，劳动动机(15)bb相关，并建立了数学模型0.141010rETb．已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论：①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高；②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高；③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强：④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②④【解析】设甲与乙的工人工作效率12,EE，工作年限12,rr，劳累程度12,TT，劳动动机12,bb，对于①，12bb，12rr，12TT，15b，0.14210b∴210.140.1421rrbb，210TT，则12210.14012.140.140.1411222211=10101010100rrrrTbTbTbTbEE，∴12EE，即甲比乙工作效率高，故①正确；对于②，12TT，12rr，12bb，∴0.140.142101bb，2210.140.140.14211rrrbbb，则12210.140.140.140.1411221112210=101010100rrrrTbTbTEbbE，∴12EE，即甲比乙工作效率高，故②正确；对于③，12rr，12EE，12bb，1201bb，∴210.140.1422121110=0rrTEbEbT，210.140.142211rrTbTb，1120.140.142110.141221r