专题6-1 数列函数性质与不等式放缩（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版

专题6-1数列函数性质与不等式放缩目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................4【题型一】数列单调性与不等式放缩..........................................................................................5【题型二】利用导数研究数列“性质”......................................................................................8【题型三】数列函数性质：“周期性”....................................................................................11【题型四】构造等差数列型放缩...............................................................................................14【题型五】构造等比数列型放缩...............................................................................................17【题型六】裂项放缩型..............................................................................................................20【题型七】无理根式、对勾等放缩............................................................................................23【题型八】数列中的蛛网不等式...............................................................................................26【题型九】数学归纳法..............................................................................................................30专题训练...................................................................................................................................34讲高考1．（2021·全国·统考高考真题）等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．2．（全国·高考真题）设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2nnca，cn＋1＝2nnba，则A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【答案】B【详解】1112bac且11bc，1112acc，11ac，111111120baacaac，111bac，又111bca，11112acca，112ca，112ac，由题意，112nnnnnbcbca，1112(2)2nnnnnnbcabca，1112bca，11120bca，20nnnbca，122nnnbcaa，12nnbca，由此可知顶点nA在以nB、nc为焦点的椭圆上，又由题意，112nnnncbbc，111112(2)2nnnnnabbbabab，1111()2nnbaab，111()2nnba，11111()()2nnbaba，1111112()()2nnncababa，21111111111111333311()[()()][()()]222222nnnaaaaSaabaaba1222111131444naaba单调递增（可证当1n时22111()0)4aba故选：B．3．（浙江·高考真题）已知1234,,,aaaa成等比数列，且1234123ln()aaaaaaa．若11a，则A．1324,aaaaB．1324,aaaaC．1324,aaaaD．1324,aaaa【答案】B【分析】先证不等式ln1xx，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令()ln1,fxxx则1()1fxx，令()0,fx得1x，所以当1x时，()0fx，当01x时，()0fx，因此()(1)0,ln1fxfxx，若公比0q，则1234123123ln()aaaaaaaaaa，不合题意；若公比1q，则212341(1)(1)0,aaaaaqq但212311ln()ln[(1)]ln0aaaaqqa，即12341230ln()aaaaaaa，不合题意；因此210,(0,1)qq，22113224,0aaqaaaqa，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln1,xx2e1,e1(0).xxxxx4．（2020·全国·统考高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12naaa满足{0,1}(1,2,)iai，且存在正整数m，使得(1,2,)imiaai成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)imiaai的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12naaa，11()(1,2,,1)miikiCkaakmm是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5Ckk的序列是（）A．11010B．11011C．10001D．11001【答案】C【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由imiaa知，序列ia的周期为m，由已知，5m，511(),1,2,3,45iikiCkaak对于选项A，511223344556111111(1)()(10000)55555iiiCaaaaaaaaaaaa52132435465711112(2)()(01010)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；对于选项B，51122334455611113(1)()(10011)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；对于选项D，51122334455611112(1)()(10001)5555iiiCaaaaaaaaaaaa，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.5.（2019·浙江·高考真题）设,abR，数列na中，211,nnaaaab，Nn,则A．当101,102baB．当101,104baC．当102,10baD．当104,10ba【答案】A【解析】若数列na为常数列，101aaa，则只需使10a，选项的结论就会不成立.将每个选项的b的取值代入方程20xxb，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.【详解】若数列na为常数列，则1naaa，由21nnaab，可设方程20xxb选项A：12b时，2112nnaa，2102xx，1210，故此时na不为常数列，222112()222nnnnaaaa，且2211122aa，792(2)42aa，则21091610aa，故选项A正确；选项B：14b时，2114nnaa，2104xx，则该方程的解为12x，即当12a时，数列na为常数列，12na，则101102a，故选项B错误；选项C：2b时，212nnaa，220xx该方程的解为=1x或2，即当1a或2时，数列na为常数列，1na或2，同样不满足1010a，则选项C也错误；选项D：4b时，214nnaa，240xx--=该方程的解为1172x，同理可知，此时的常数列na也不能使1010a，则选项D错误.故选：A.【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.6．（2022·北京·统考高考真题）已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得235332a，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa，即2213981SSS，所以，2213SSS，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意，故数列na不是等比数列，②错；当2n时，111