专题8-1 直线与圆归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题8-1直线与圆归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................6【题型一】直线含参（动直线）.................................................................................................6【题型二】直线含参（圆切线型）..............................................................................................8【题型三】曲线关于直线对称...................................................................................................11【题型四】切线应用.................................................................................................................13【题型五】圆定点（圆含参型）...............................................................................................16【题型六】圆的切点弦型..........................................................................................................18【题型七】两圆公切线型..........................................................................................................21【题型八】圆有关的轨迹及应用...............................................................................................23【题型九】函数中的圆应用......................................................................................................26【题型十】圆综合应用..............................................................................................................28【题型十一】与圆有关的定点定值定直线.................................................................................32专题训练...................................................................................................................................37讲高考1．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记d为点cos,sinPθθ到直线20xmy的距离，当、m变化时，d的最大值为A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】P为单位圆上一点，而直线20xmy过点2,0A，则根据几何意义得d的最大值为1OA.【详解】22cossin1Q，P为单位圆上一点，而直线20xmy过点2,0A，所以d的最大值为1213OA，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．2．（·湖北·高考真题）设、是关于的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为A．0B．1C．2D．3【答案】A【详解】试题分析：依题意，，过，两点的直线斜率为，又因为双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线无交点，故选A.考点：一元二次方程的根与系数关系，直线的斜率，双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，中等题.3．（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：222220xyxy，直线l：220xy，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A．210xyB．210xyC．210xyD．210xy【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP，根据44PAMPMABSPA可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为2221125221d，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP，所以14442PAMPMABSPAAMPA，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小．∴1:112MPyx即1122yx，由1122220yxxy解得，10xy．所以以MP为直径的圆的方程为1110xxyy，即2210xyy，两圆的方程相减可得：210xy，即为直线AB的方程．故选：D.4．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+12【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx，由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），则直线l的方程为210xy，即1122yx.故选：D.5．（2018·全国·高考真题）直线20xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆2222xy上，则ABP面积的取值范围是A．26，B．48，C．232，D．2232，【答案】A【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到AB，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点A2,0,B0,2,则AB22点P在圆22x22y（）上圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d故点P到直线xy20的距离2d的范围为2,32则22122,62ABPSABdd故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．6．（·四川·高考真题）设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym交于点(,)Pxy，则PAPB的最大值是______．【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)AB.设(,)Pxy，则消去m得：2230xyxy，所以点P在以AB为直径的圆上，PAPB，所以222||||10PAPBAB，2||52ABPAPB.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PAPB，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.7．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx或7252424yx或=1x【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】[方法一]：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0xbyc++=，于是2||11cb，2|34|4.1bcb故221cb①，|34||4|.bcc于是344bcc或344bcc，再结合①解得01bc或247257bc或4353bc，所以直线方程有三条，分别为10x，724250xy，3450.xy(填一条即可)[方法二]：设圆221xy的圆心(0,0)O，半径为11r，圆22(3)(4)16xy的圆心(3,4)C，半径24r，则12||5OCrr，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x符合题意；又由方程22(3)(4)16xy和221xy相减可得方程3450xy，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为430xy，直线OC与直线10x的交点为4(1,)3，设过该点的直线为4(1)3ykx，则24311kk，解得724k，从而该切线的方程为724250.(xy填一条即可)[方法三]：圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk，所以34lk，设方程为3(0)4yxttO到l的距离||19116td，解得54t，所以l的方程为3544yx，当切线为m时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为n时，易知切线方程为=1x，故答案为：3544yx或7252424yx或=1x.8．（2019·全国·专题练习）已知直线l：330mxym与圆2212xy交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若||23AB，则||CD__________．【答案】4【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【详解】因为23AB，且圆的半径为23r，所以圆心0,0到直线330mxym的距离为2232ABr，则由23331mm，解得33m，代入直线l的方程，得3233yx，所以直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，4cos30ABCD．故答案为49．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则a的取值范围是