考点3-4 函数与导数应用：零点(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点3-4函数与导数应用：零点1．（2022·北京丰台·高三期末）已知函数221,11,1xxfxxx，若函数gxfxk有两个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．,0B．0,1C．1,0D．0,1【答案】D【分析】函数gxfxk有两个不同的零点，可转化为函数yfx与直线yk有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数k的取值范围.【详解】函数gxfxk有两个不同的零点，即为函数yfx与直线yk有两个交点，函数yfx图象如图所示：所以0,1k，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2,1,()2,1.xxfxxxx，则函数()||yfxx零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】当1x时和1x时，分别化简函数()||yfxx的解析式可直接判断零点的个数.【详解】当1x时，22yxx，所以不存在零点；当1x时，220txxxx，也不存在零点，所以函数()||yfxx的零点个数为0.故选：A.3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数()24xfxx，()e4xgxx，()ln4hxxx的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（）A．abcB．cbaC．bacD．cab【答案】C【分析】将()fx，()gx，()hx的零点看成函数4yx分别与2xy，exy，lnyx的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解.【详解】由已知条件得()fx的零点可以看成2xy与4yx的交点的横坐标，()gx的零点可以看成exy与4yx的交点的横坐标，()hx的零点可以看成lnyx与4yx的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2xy，exy，lnyx，4yx的函数图象，如下图所示,可知cab，故选：C.4.（2019·全国·高考真题（文））函数22,0e,0xxfxxx的零点个数为_________．【答案】1【分析】分0x和0x时，求函数的零点个数，可得答案.【详解】当0x时，()2fxx有一个零点2；当0x时，2()e0fxx，无零点，故函数22,0e,0xxfxxx的零点个数为1个故答案为：15．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数22322fxtxtxtt的最大值为M，若函数2gtMtm有三个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】5,127【分析】根据二次函数的性质求出fx的最大值为3Mtt，依题意可得函数32htttt的图象与直线ym有三个交点，利用导数研究函数ht的单调性与极值，即可得到函数图象，结合函数图象即可求出参数m的取值范围；【详解】解：因为2223322fxtxtxtttxttt，所以fx的最大值为3Mtt，易知函数232gtMtmtttm有三个零点，等价于函数32htttt的图象与直线ym有三个交点，因为2321311httttt，所以当13t或1t时，0ht，当113t时，0ht，所以ht在1,3，1,上单调递减，在1,13上单调递增，所以3211115333327hth极小值，11111hth极大值，又当t时，ht；当t时，ht，函数32htttt的图象如下所示：结合函数图象可知，若函数32htttt的图象与直线ym有三个交点，则5,127m．故答案为：5,1276．（2022·河南安阳·模拟预测（理））函数()2sinsin2fxxx在0,2的零点个数为A．2B．3C．4D．5【答案】B令()0fx，得sin0x或cos1x，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)0fxxxxxxxx，得sin0x或cos1x，0,2x，02x、或．()fx在0,2的零点个数是3，故选B．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．7．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数22()(2)e(2)exxfxaaxx有三个零点123,,xxx，且123xxx，则1311exx3223211eexxxx（）A．8B．1C．－8D．－27【答案】D【分析】根据题意可得：2()(2)20xxxxaaee有三解，令xxte，由()xxgxe的图像可得故xxte最多只有两个解，所以2(2)20tata有两解12,tt，122,tta122tta，1xxte有一解为1x，2xxte有两解为23,xx，代入即可得解.【详解】由22()()(2)20xxxxxfxeaaee，即2()(2)20xxxxaaee有三解，令xxte，设()xxgxe，1()xxgxe，当(,1),()0xgx，()gx为增函数，当(1,),()0xgx，()gx为减函数，()gx图像如图所示：故xxte最多只有两个解，若要2()(2)20xxxxaaee有三解，则2(2)20tata有两解，12,tttt，12122,2ttatta，故1xxte有一解为1x，2xxte有两解为23,xx，31232312111eeexxxxxx33333121212(1)(1)(122)(3)271ttttttaa，故选：D8．（2019·浙江·高考真题）已知函数1,0,ln,0,xaxfxxx（0a且1a），若函数yffxa的零点有5个，则实数a的取值范围为（）A．2aB．ln21a或12aC．0ln2a或12a或2aD．ln21a或2a【答案】D【分析】依题意函数yffxa的零点即为方程ffxa的根，对a分四种情况讨论，结合函数图形即可得解；【详解】解：依题意函数yffxa的零点即为方程ffxa的根，①当01a时函数fx的函数图象如下所示：所以fta有两个根1t，2t（101t，21t），而1tfx对应2个根，所以需要2tfx对应3个根，所以22t，即e2a，解得ln21a；②当2a时函数fx的函数图象如下所示：所以fta有两个根1t，2t（101t，22t），而1tfx对应2个根，2tfx对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；③当2a时函数fx的函数图象如下所示：所以fta有三个根121et，22et，30t，从而2efx，21efx，0fx，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；④当12a时函数fx的函数图象如下所示：所以fta有三个根1t，2t，3t，（101t，21t，30t），而1tfx，2tfx，3tfx分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；综上可得实数a的取值范围为ln21a或2a；故选：D9.（2021·天津·高考真题）如果两个函数存在零点，分别为,，若满足n，则称两个函数互为“n度零点函数”.若ln2fxx与2lngxaxx互为“2度零点函数”，则实数a的最大值为___________.【答案】12e【分析】由fx的零点为3得出gx的零点0x的范围，00gx得出0020ln15xaxx，构造2ln(15)xhxxx，利用导数得出其最值，进而得出实数a的最大值.【详解】函数fx的零点为3，设函数gx的零点为0x，则0032,15xx.20000020lnln0,15xgxaxxaxx，令2ln(15)xhxxx，312ln()xhxx，(1,e),()0xhx；(e,5),()0xhx，即函数hx在(1,e)上单调递增，在(e,5)上单调递减，max1e2ehxh，即实数a的最大值为12e.故答案为：12e10．（2023·全国·高三专题练习）已知0x是函数22eln2xfxxx的零点，则020elnxx_______．【答案】2【分析】根据零点定义可得02200eln2=0xxx，整理可得0200e2ln0eelnexxxx，根据此时可得020exx成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得02200eln2=0xxx，整理可得020002ln=exxxx，02000e222ln00eee=lnlneexxxxxx可得当200elnxx，即020exx成立，又02200ln=2exxx，代入可得020000212eln2xxxxx.故答案为：2.11．（2022·广东·模拟预测）已知函数fx22122,2212,sinxaxaxaxaxa，若函数()fx在[0,)内恰有5个零点，则a的取值范围是（）A．75,42B．7,24C．5711,2,424D．75,22,42【答案】D【分析】分析可知0a，对实数a的取值进行分类讨论，确定函数fx在,a上的零点个数，然后再确定函数fx在0,a上的零点个数，可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.【详解】当0a时，对任意的0x，22212fxxaxa在0,上至多2个零点，不合乎题意，所以，0a.函数22212yxaxa的对称轴为直线12xa，22214247aaa.所以，函数fx在1,2aa上单调递减，在1,2a上单调递增，且2faa.①当470a时，即当704a时，则函数fx在,a上无零点，所以，函数12sin22fxxa在0,a上有5个零点，当0xa时，111222axa，则11222axa，由题意可得5124a，解得532a，此时a不存在；②当0时，即当74a时，函数fx在7,4上只有一个零点，当70,4x时，2cos2fxx，则7022x，则函数fx在70,4上只有3个零点，此时，函数fx在0,上的零点个数为4，不合乎题意；③当20Δ470faaa时，即当724a时，函数fx在,a上有2个零点，则函数12sin22fxxa在0,a上有3个