考向05函数的单调性及最值（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向05函数的单调性与最值1.（2022年浙江卷第7题）已知825,log3ab，则34ab（）A.25B.5C.259D.53【答案】C【解析】因为25a，821log3log33b，即323b，所以22323232452544392aaabbb．故选：C.2.（2022年新高考1卷第7题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A.abcB.cbaC.cabD.acb【答案】C【解析】设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.3.（2022年北京卷第14题）设函数21,,2,.axxafxxxa若()fx存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【答案】①.0（答案不唯一）②.1【解析】若0a时，21,0(){(2),0xfxxx，∴min()0fx；若0a时，当xa时，()1fxax单调递增，当x时，()fx，故()fx没有最小值，不符合题目要求；若0a时，当xa时，()1fxax单调递减，2()()1fxfaa，当xa时，min20(02)(){(2)(2)afxaa∴210a或2212aa（），解得01a，综上可得01a；故答案为：0（答案不唯一），1（1）函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。（2）函数f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。（3）函数的单调定义中的x1、x2有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。（4）求函数的单调区间必须先求定义域。（5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。1．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)f（x1）－f（x2）x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递增．(2)f（x1）－f（x2）x1－x20(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0)⇔f(x)在D上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【易错点1】求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是A．xyeB．3yxC．lnyxD．yx【答案】B【解析】四个函数的图象如下xyy=e-xOxyy=x3Oxyy=lnxOyy=|x|O显然B成立．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2．函数22312xxfx的单调递减区间是A．,B．,1C．3,D．1,【答案】D【解析】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数12xy在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D．【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．3．已知函数1()xfxe，0.52af，0.20.3bf，0.3log2cf，则a，b，c的大小关系为（）A．cbaB．abcC．bcaD．cab【答案】B【解析】函数1()xfxe，0.52af，0.20.3bf，0.3log2cf根据指数函数和对数函数的单调性可得：0.50221，0.2000.30.31，0.30.3log2log01，因为函数1()xfxe在R上单调递减，且0.50.20.3log20.23，所以0.20.053.(log2)(0.23)()fff，即abc.故选：B【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．4．已知函数22cos()(1)sin(),()233xfxxaxagxx，若[]0fgx对0,1x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(,31]B．(,0]C．[031]D．(,13]【答案】A【解析】在同一坐标系内画出2231,2,2xyxyyx的图象，由图象可知，在0,1上，223122xxx恒成立，即23122xx，当且仅当0x或1x时等号成立，312gx，设gxt，则31,02tfgx等价于0ft，即2cos1sin033tata，31,,2332ttQ，再设3sin,132tmm，原不等式可化为212sin1sin033tata，即22211210,211mmmamnamm，而31211m，31a，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设gxt，则原不等式等价于0ft，再设sin3tm，并参变分离求出最值解出实数a的取值范围，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题．5．设函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx，且当0,1x时，()(1)fxxx．若对任意,xm，都有8()9fx≥，则m的取值范围是()A．9,4B．7,3C．5,2D．8,3【答案】B【解析】∵(0,1]x时，()=(1)fxxx，(+1)=()fx2fx，∴()2(1)fxfx，即()fx右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x≤时，()=4(2)=4(2)(3)fxfxxx，令84(2)(3)9xx，整理得：2945560xx，∴37380xx（舍），∴173x，283x，∴(,]xm时，8()9fx≥成立，即73m≤，∴7,3m，故选B．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））下列函数中是减函数的为（）A．2()logfxxB．()13xfxC．1()fxxD．2()1fxx【答案】B【解析】选项A：由21，可得2()logfxx为增函数.判断错误；选项B：由31，可得3xy为增函数，则()13xfx是减函数.判断正确；选项C：由102，可得12yx是减函数，则1()fxx为增函数.判断错误；选项D：2()1fxx在,0上单调递增.判断错误.故选：B2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知函数33,0()e1,0xxxfxx，则不等式()(31)fafa的解集为（）A．10,2B．1,02C．1,2D．1,2【答案】C【解析】因为33,0()e1,0xxxfxx，当0x时()33fxx函数单调递减，且3033fx，当0x时()e1xfx函数单调递减，且00e123f，所以函数fx在(,)上是单调递减，所以不等式()(31)fafa等价于31aa，解得12a．即不等式的解集为1,2；故选：C3．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数yfx，若0fx且0fxxfx，则有（）A．fx可能是奇函数，也可能是偶函数B．11ffC．42x时，cos22s(os)(inc)xfefxxD．(0)e(1)ff【答案】D【解析】若fx是奇函数，则fxfx，又因为0fx，与fxfx矛盾，所有函数yfx不可能时奇函数，故A错误；令22exgxfx，则222222eeexxxgxxfxfxxfxfx，因为22e0x，0fxxfx，所以0gx，所以函数gx为增函数，所以11gg，即1122e1e1ff，所以11ff，故B错误；因为42x，所以20cos2x，2sin12x，所以sincosxx，故sincosgxgx，即22sincos22esinecosxxfxfx，所以22cossincos222sinecosecosxxxfxfxfx，故C错误；有01gg，即0e1ff，故D正确.故选：D.4．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知133ln3,e,(93ln3)eabc，则a，b，c的大小为（）A．abcB．acbC．cabD．bca【答案】C【解析】令函数ln()(e)xfxxx，当ex时，求导得：21ln0xfxx，则函数()fx在[e,)上单调递减，又ln3(3)3af，lne(e)ebf，3333eln3(3ln3)e3()ee33cf，显然3ee33，则有3e()(3)(e)3fff，所以cab.故选：C5．（2022·青海·模拟预测（理））若01ab，则（）A．eelnlnbabaB．eelnlnbabaC．eeabbaD．eeabba【答案】D【解析】对于A,B,令()elnxfxx，则1()exfxx，当01x时，1()exfxx单调递增，且21333233332123()e20,()ee1.57.291.50232