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考向34抛物线1.(2022·全国乙(文)T6)设F为抛物线2:4Cyx的焦点,点A在C上,点(3,0)B,若AFBF,则AB()A.2B.22C.3D.32【答案】B【解析】由题意得,1,0F,则2AFBF,即点A到准线1x的距离为2,所以点A的横坐标为121,不妨设点A在x轴上方,代入得,1,2A,所以22310222AB.2.(2022·新高考Ⅰ卷T11)已知O为坐标原点,点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp上,过点(0,1)B的直线交C于P,Q两点,则()A.C的准线为1yB.直线AB与C相切C.2|OPOQOAD.2||||||BPBQBA【答案】BCD【解析】将点A的代入抛物线方程得12p,所以抛物线方程为2xy,故准线方程为14y,A错误;1(1)210ABk,所以直线AB的方程为21yx,联立221yxxy,可得2210xx,解得1x,故B正确;设过B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,所以,直线l的斜率存在,设其方程为1ykx,1122(,),(,)PxyQxy,联立21ykxxy,得210xkx,所以21212Δ401kxxkxx,所以2k或2k,21212()1yyxx,又2221111||OPxyyy,2222222||OQxyyy,所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyyyykxkxkOA,故C正确;因为21||1||BPkx,22||1||BQkx,所以2212||||(1)||15BPBQkxxk,而2||5BA,故D正确.3.(2022·新高考Ⅱ卷T10)已知O为坐标原点,过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点(,0)Mp,若||||AFAM,则()A.直线AB的斜率为26B.||||OBOFC.||4||ABOFD.180OAMOBM【答案】ACD【解析】对于A,易得(,0)2pF,由AFAM可得点A在FM的垂直平分线上,则A点横坐标为3224ppp,代入抛物线可得2233242pypp,则36(,)42ppA,则直线AB的斜率为6226342ppp,A正确;对于B,由斜率为26可得直线AB的方程为1226pxy,联立抛物线方程得22106ypyp,设11(,)Bxy,则16626pyp,则163py,代入抛物线得21623ppx,解得13px,则6(,)33ppB,则22673332ppppOBOF,B错误;对于C,由抛物线定义知:325244312pppABppOF,C正确;对于D,23663663(,)(,)0423343234pppppppppOAOB,则AOB为钝角,又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMAMB,则AMB为钝角,又360AOBAMBOAMOBM,则180OAMOBM,D正确.故选:ACD.4.(2022·全国甲(文)T21)设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F,点,0Dp,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,3MF.(1)求C的方程;(2)设直线,MDND与C的另一个交点分别为A,B,记直线,MNAB的倾斜角分别为,.当取得最大值时,求直线AB的方程.【答案】(1)24yx;(2):24ABxy.【解析】(1)抛物线的准线为2px,当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时=32pMFp,所以2p,所以抛物线C的方程为24yx;(2)设222231241234,,,,,,,4444yyyyMyNyAyBy,直线:1MNxmy,由214xmyyx可得2440ymy,120,4yy,由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy,34223434444AByykyyyy,直线112:2xMDxyy,代入抛物线方程可得1214280xyyy,130,8yy,所以322yy,同理可得412yy,所以34124422MNABkkyyyy又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,,所以tantan22MNABkk,若要使最大,则0,2,设220MNABkkk,则2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk,当且仅当12kk即22k时,等号成立,所以当最大时,22ABk,设直线:2ABxyn,代入抛物线方程可得24240yyn,34120,4416yynyy,所以4n,所以直线:24ABxy.5.(2022·全国甲(理)T)20.设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F,点,0Dp,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,3MF.(1)求C的方程;(2)设直线,MDND与C的另一个交点分别为A,B,记直线,MNAB的倾斜角分别为,.当取得最大值时,求直线AB的方程.【答案】(1)24yx;(2):24ABxy.【解析】(1)抛物线的准线为2px,当MD与x轴垂直时,点M的横坐标为p,此时=32pMFp,所以2p,所以抛物线C的方程为24yx;(2)设222231241234,,,,,,,4444yyyyMyNyAyBy,直线:1MNxmy,由214xmyyx可得2440ymy,120,4yy,由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy,34223434444AByykyyyy,直线112:2xMDxyy,代入抛物线方程可得1214280xyyy,130,8yy,所以322yy,同理可得412yy,所以34124422MNABkkyyyy又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,,所以tantan22MNABkk,若要使最大,则0,2,设220MNABkkk,则2tantan112tan11tantan1241222kkkkkk,当且仅当12kk即22k时,等号成立,所以当最大时,22ABk,设直线:2ABxyn,代入抛物线方程可得24240yyn,34120,4416yynyy,所以4n,所以直线:24ABxy.1.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.2.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+p2或|PF|=|y|+p2.3.与抛物线有关的最值问题的转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.4.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质简化运算.5.求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则:(1)x1x2=p24,y1y2=-p2;(2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=p1-cosα,|BF|=p1+cosα,弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α为弦AB的倾斜角);(3)1|FA|+1|FB|=2p;(4)以弦AB为直径的圆与准线相切;(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切;(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上;(7)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.1.定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.2.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.一、单选题1.已知O为坐标原点,抛物线214xy的焦点为F,点M在抛物线上,且3MF,则M点到x轴的距离为()A.2B.4716C.23D.222.已知抛物线C:22(0)ypxp的焦点为F,准线为l,点A是抛物线C上一点,ADl于D.若4AF,60DAF,则抛物线C的方程为()A.28yxB.24yxC.22yxD.2yx3.设O、F分别是抛物线24yx的顶点和焦点,点P在抛物线上,若10OPFP,则FPA.2B.3C.4D.54.抛物线24yx的焦点为F,点3,2A,P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则PAF△周长的最小值为()A.4B.5C.422D.5225.已知抛物线C:x2=-2py(p0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=()A.4B.6C.8D.106.已知抛物线2:4Cyx上任意一点P,定点2,1A,若点M是圆221(1)4xy上的动点,则||||PAPM的最小值为()A.2B.52C.3D.47.已知双曲线222104xybb右焦点为1F,过1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,抛物线216yx的焦点为F,若ABF为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是()A.113,2B.13,C.1,3D.1131,28.已知抛物线2:20Cypxp,以2,0M为圆心,半径为5的圆与抛物线C交于,AB两点,若8AB,则p()A.4B.8C.10D.16二、多选题9.已知抛物线220ypxp上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和22,则p的值可以是A.2B.6C.4D.810.下列说法不正确...的是()A.等比数列na,2104,8aa,则642aB.抛物线24yx的焦点1,0FC.命题“20,2xxx”的否定是:“20,2xxx”D.两个事件AB、,“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件.11.[多选题]已知抛物线212xy的焦点为F,11,Mxy,22,Nxy是抛物线上两点,则下列结论正确的是()A.点F的坐标为1,08B.若直线MN过点F,则12116xxC.若MFNF,则MN的最小值为12D.若32MFNF
本文标题:考向34抛物线(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)
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