第2节 排列与组合

第2节排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！（n－m）！.(2)Cmn＝AmnAmm＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，且m≤n).特别地C0n＝1性质(1)0！＝1；Ann＝n！.(2)Cmn＝Cn－mn；Crn＝Cr－1n－1＋Crn－11.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)若组合式Cxn＝Cmn，则x＝m成立.()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()(5)kCkn＝nCk－1n－1.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故错误；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故错误；(3)若Cxn＝Cmn，则x＝m或n－m，故错误.2.(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种答案C解析先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C16种选法；再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C25种选法；最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C33种选法，由分步乘法计数原理知，共有C16·C25·C33＝60(种)不同的安排方法.3.(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.240种D.480种答案C解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C25种分法；第二步：将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法.故满足题意的分配方案共有C25·A44＝240种.4.(2022·湖南四校联考)周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为()A.8B.12C.16D.20答案C解析法一将4个座位编号如下，4人的座位可分四种情况，①④坐家长②③坐孩子、①④坐孩子②③坐家长、①③坐家长②④坐孩子、①③坐孩子②④坐家长，所以不同的坐法种数为4A22A22＝16.①②③④法二当两个孩子挨着坐且坐在两端时有一个孩子两侧均无家长，所以不同的坐法种数为A44－2A22A22＝16.5.(易错题)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________.答案240解析由题意知，其中一人分两张，先分后排，共有C25A44＝240种不同的分法.6.(2021·上海卷)某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有________种运动组合方式.A运动B运动C运动D运动E运动7点～8点8点～9点9点～10点10点～11点11点～12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟答案23解析若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有C55＋C45＋C35＋C25－3＝23(种).考点一排列问题例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3720(种).法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3720(种).(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有A77A33＝840(种).感悟提升排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.训练1(1)从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到ab的不同值的个数为()A.6B.8C.12D.16答案C解析ab的值的个数即为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数，A24＝4×3＝12.(2)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有()A.96个B.78个C.72个D.64个答案B解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44＝24(个)；当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.考点二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.感悟提升组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.训练2(1)(2022·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A.15B.30C.35D.42答案B解析甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C37种情况，发言的3人来自2家企业的情况有C22C15种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C37－C22C15＝30(种).(2)(多选)(2022·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A.若任意选科，选法总数为C24B.若化学必选，选法总数为C12C13C.若政治和地理至少选一门，选法总数为C12C12C13D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12C12＋1答案BD解析若任意选科，选法总数为C12C24，A错误；若化学必选，选法总数为C12C13，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C12(C12C12＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C12C12＋1，D正确.考点三排列与组合的综合问题角度1相邻与相间问题例3(1)北京APEC峰会期间，有2名女性和3名男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()A.12种B.24种C.48种D.96种答案C解析从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有C23A22＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法.(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形