第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第6节事件的相互独立性、条件概率与全概率公式考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B－__，A－与B，A－与B－也都相互独立.2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型，P(B|A)＝n（AB）n（A）；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝∑ni＝1P（Ai）P（B|Ai），我们称上面的公式为全概率公式.1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝P（AB）P（A）外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝n（AB）n（A），其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.2.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()(2)全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率.()(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－).()(4)P(A)＝P(BA)＋P(BA－).()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝0；(3)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－)；(4)P(B)＝P(BA)＋P(BA－).2.(易错题)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为23，34.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为()A.12B.23C.56D.112答案C解析设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；由题意得，选手能进入第三关的事件为A1B1＋A1－A2B1＋A1B1－B2＋A1－A2B1－B2，所求概率为P(A1B1＋A1－A2B1＋A1B1－B2＋A1－A2B1－B2)＝23×34＋13×23×34＋23×14×34＋13×23×14×34＝56.3.(易错题)(2021·滁州期末)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为()A.89B.25C.911D.811答案A解析设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨.根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率为P(B|A)＝830930＝89.4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P(甲)＝16，事件乙发生的概率P(乙)＝16，事件丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙是互斥事件，不是相互独立事件，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.5.(2022·青岛检测)质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为()A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17答案C解析设Ai表示第i次打击后该构件没有受损，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率是0.68.6.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________.答案232027解析由题意可得一次活动中，甲获胜的概率为56×45＝23；在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C23×232×13＋233＝2027.考点一相互独立事件的概率例1(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.解(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为116；乙连胜四场的概率为116；丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34.(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.感悟提升求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.训练1在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立.(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A，B，C，设乙答对这道题的概率P(B)＝x，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A，B，C是相互独立事件.由题意可知，P(A)＝34，P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝1－34×(1－x)＝112，解得x＝23，所以乙答对这道题的概率为P(B)＝23.(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y，由题意可知，P(BC)＝P(B)·P(C)＝23×y＝14，解得y＝38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝1－34×1－23×1－38＝596.所以甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率为P(M)＝1－P(A－B－C－)＝9196.考点二条件概率例2(1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()A.310B.13C.38D.29答案B解析设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝210＝15，P(AB)＝2×310×9＝115，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝13.(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A.35B.25C.59D.23答案D解析记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，P(A)＝410＝25，P(AB)＝410×69＝415，则P(B|A)＝P（AB）P（A）＝41525＝23.感悟提升求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P（AB）P（A）.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）.训练2(1)某射击选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是()A.25B.58C.12D.45答案B解析设该选手某次击中10环为事件A，随后一次击中10环为事件B，则P(A)＝45，P(AB)＝12，∴某次击中10环，随后一次击中10环的概率是P(B|A)＝P（AB）P（A）＝1245＝58.(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.答案0.72解析设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.考点三全概率公式的应用例3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解设B＝“飞机被击落”，Ai＝“飞机被i人击中”，i＝1，2，3，则B＝A1B＋A2B＋A3B，P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3).为求P(Ai)，设Hi＝{飞机被第i人击中}，i＝1，2，3，且H1，H2，H3相互独立，则P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，故P(A1)＝P(H1H－2H－3＋H－1H2H－3＋H－1H－2H3)＝P(H1)P(H－2)P(H－3)＋P(H－1)P(H2)·P(H－3)＋P(H－1)P(H－2)P(H3)＝0.36，P(A2)＝P(H1H2H－3＋H1H－2H3＋H－1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H－3)＋P(H1)P(H－2)P(H3)＋P(H－1)P(H2)P(H3)＝0.41，P(A3)＝P(H1H2H3)＝P(H1)P(H2)P(H3)＝0.14.于是P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458，即飞机被击落的概率为0.458.感悟提升利用全概率公式的思路(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式计算.训练3某工厂有四条流水线生产同一产