第06讲 双曲线及其性质（练习）（解析版）

第06讲双曲线及其性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知双曲线22:136xy的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则OPF△的面积为（）A．32B．322C．33D．332【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为2yx，3,0F，所以根据点到直线的距离公式可得，2232612PF．又3OF，则3OP，所以OPF的面积为1326322．故选：B.2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线222:14xyEa，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，OAB的面积为2，则E的焦距为（）A．2B．22C．4D．42【答案】D【解析】由题意可得，,0Aa，且直线AB与双曲线的一条渐近线平行，所以2ABka，则可得直线AB的方程为2yxaa，令0x，可得=2y，即2,0B，所以,2OAaOB，则112222OABSOAOBa，解得2a，所以222448cab，即22c，则E的焦距242c.故选：D3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知A，B分别是双曲线2222:10,0xyCabab的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且PFx轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．3【答案】C【解析】由题意可得，(,0)Aa，(,0)Ba，P点的横坐标为c，代入22221cyab，又0Py，所以2(,)bPca，2PAbakca，2PBbakca，则3PBPAkcakca，可得2ca．即双曲线的离心率为2．故选：C．4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线22221xyab(0,0)ab的左、右焦点分别为12,FF，过点1F且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于,AB两点，若2ABF△的周长为16，则当2b取得最大值时，该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】A【解析】设1(,0)Fc，由xc代入双曲线的方程可得2221cbybaa，则有2,bAca，2,bBca，211bAFBFa，22||bABa，4222221122||||4bAFBFAFFFca，由题意可得242222416bbcaa，结合222cab，上式化简可得2224(2)4baaa，当2a时，2b取得最大值4，2448c，2a，22c，双曲线离心率2cea．故选：A．5．（2023·四川成都·模拟预测）已知1F、2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，且2122bFFa，点P为双曲线右支上一点，I为12PFF△内心，若1212IPFIPFIFFSSSl=+△△△，则的值为（）A．52B．12C．512D．512【答案】C【解析】如图所示：由题意I为12PFF△内心，设12IAFF，2IBPF，1ICFP，12PFF△内切圆半径为r，所以IAIBICr，又因为1212IPFIPFIFFSSSl=+△△△，即1212111222rPFrPFrFF，化简得1212PFPFFF，由双曲线定义可知121222PFPFacFF，因此有ac；注意到2122bFFa，且122FFc以及222cab，联立并化简得222cabac，即210aacc，解得152ac或125（舍去，因为0ac）故选：C6．（2023·四川南充·统考三模）已知点F是双曲线22221xyab（00ab,）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(1),+B．(1,2)C．(2,12)D．(1,12)+【答案】B【解析】由题意可知AEBE即ABE为等腰三角形，故ABE是锐角三角形，只需45AEF，将xc代入22221xyab可得2bya，故在RtAFE中，2||bAFa，||FEac，则2||||,bAFFEaca，化简整理，得2220acac，∴220ee，∴12e，又1e，∴12e，故选：B.7．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知双曲线2222:1(00)xyCabab，的左、右焦点分别为1F，2F，若在C上存在点(P不是顶点)，使得2113PFFPFF，则C的离心率的取值范围为（）A．22,B．3,C．(1,3]D．1,2【答案】A【解析】设1PF与y轴交于Q点，连接2QF，则121221,QFQFQFFQFF，因为2113PFFPFF，故P点在双曲线右支上，且22122PFQPQFPFF，故2||||PQPF，而12||||2PFPFa，故1211||||||||||2PFPFPFPQQFa，在1RtQOF中，11||||QFOF，即2ac，故2cea，由21123PFFPFF，且三角形内角和为180，故12180454PFF，则1121||coscos45||OFPFFQF，即222ca，即2cea，所以C的离心率的取值范围为22,，故选：A8．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0),xyCabFab为左焦点，12,AA分别为左､左顶点，P为C右支上的点，且OPOF（O为坐标原点）.若直线PF与以线段12AA为直径的圆相交，则C的离心率的取值范围为（）A．1,3B．3,C．5,D．1,5【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为1F，则1||OPOFOF，则190FPF，P为C右支上的点，取PF的中点为B，连接OB，则OBPF，设||OBt，则1||2PFt，则||22PFat，在1RtFPF△中，2222222attc，即222220tatac，又直线PF与以线段12AA为直径的圆相交，故0ta，设222()22fttatac，则220(0)fac，则需使2222()220faaaac，解得5ca，即双曲线离心率的范围为15e，即C的离心率的取值范围为1,5，故选：D9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F与双曲线的两条渐近线分别交于,PQ两点．若P是1FQ的中点，且120FQFQ，则此双曲线的离心率为（）A．3B．2C．22D．23【答案】B【解析】因为120FQFQ，则12QFQF，所以12FFQ△是直角三角形，又因为O是12FF的中点，所以OQ是直角12FFQ△斜边中线，因此1FOOQ，而点P是线段1FQ的中点，所以1FOQ△是等腰三角形，因此1FOPPOQ，由双曲线渐近线的对称性可知中：12FOPFOQ，于是有：12π3FOPPOQFOQ，因为双曲线渐近线的方程为：byxa，因此有：22222πtan333223bbbacaacaeaa，故选：B.10．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，F为C的左焦点.经过原点的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且AFBF，π12ABF，则C的一条渐近线的倾斜角可以是（）A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】C【解析】由已知结合双曲线的对称性可得，四边形1AFBF为长方形.所以，1AFBF.设1BFm，0m，根据双曲线的定义可得，122BFBFama.又12FFc，在1RtFBF中，有22211BFBFFF.又1π12FFBFAB，所以15π12FFB.由正弦定理可得，111sinsinFBFBFFBFFB，即15πsin12πsin12FBFB.又5πππππππ62sinsinsincoscossin123434344，πππππππ62sinsinsincoscossin123434344，所以，15π62sin12432π62sin124FBFB，所以，132FBFB，即232mam，解得，31ma，所以131BFa，31BFa.又22211BFBFFF，所以2222231312aac，所以，222ca，2222bcaa，所以ab.所以，双曲线的渐近线方程为byxxa.所以，倾斜角为π4或3π4.故选：C.11．（多选题）（2023·山西阳泉·统考三模）已知方程220AxByCxyDxEyF，其中ABCDEF，现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题，其中真命题有：（）A．可以是圆的方程B．一定不能是抛物线的方程C．可以是椭圆的标准方程D．一定不能是双曲线的标准方程【答案】ACD【解析】因为方程220AxByCxyDxEyF，其中ABCDEF，所以当101ABCDEF时，方程为2210xy，即221xy是圆的方程，故方程可以是圆的方程，故A正确；当1012ABCDEF时，方程为220xy，即22yx是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程，故B错误；当2101ABCDEF时，方程为22210xy，即22112xy是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程，故C正确；若方程为双曲线的标准方程，则有0,0,0ABCDEF，这与ABCDEF矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程，故D正确.故选：ACD.12．（多选题）（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线C：2214xy的左、右焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12FF为直径的圆经过点M，则（）A．12MFF△的面积为5B．点M的横坐标为2或2C．C的渐近线方程为14yxD．以线段12FF为直径的圆的方程为223xy【答案】AB【解析】由双曲线方程知2a，1b，所以双曲线C的渐近线方程为12yx，故C错误；又225cab，所以12FF为直径的圆方程为225xy，故D错误；由22125yxxy，得21xy或21xy，所以点M的横坐标为2或2，故B正确；又1My，所以1212152MMFFSFFy△∣，故A正确．故选：AB．13．（多选题）（2023·广东深圳·统考二模）如图，双曲线22221(0,0)xyabab的左､右焦点分别为12,FF，过1F向圆222xya作一条切线l与渐近线byxa和byxa分别交于点,AB（A恰好为切点，且是渐近线与圆的交点），设双曲线的离心率为e.当3ABa时，下列结论正确的是（）A．212AFAFaB．1FAbC．当点B在第一象限时，2eD．当点B在第三象限时，32e【答案】BC【解析】因为OAa且11,OAFAFOc，所以1FAb，切点A不在双曲线上，A不正确，B正确；若3ABa，在AOB中，,3,2OAaABaOBa，当,BA分别在一二象限时（如图1），6