第05讲 空间向量及其应用（十六大题型）（讲义）（教师版）

第05讲空间向量及其应用目录考点要求考题统计考情分析（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．2023年I卷第18题，12分2023年II卷第20题，12分2022年I卷第19题，12分2022年II卷第20题，12分空间向量解立体几何一般以解答题形式为主,每年必考,一般12分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质,感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中的问题.知识点一：空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a或AB．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A与终点B重合时，0AB．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a．（4）空间向量的加法和减法运算①OCOAOBab，BAOAOBab．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律abba，abcabc知识点二：空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数与空间向量a的乘积a称为向量的数乘运算．当0时，a与向量a方向相同；当0时，向量a与向量a方向相反．a的长度是a的长度的倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律abab，aa．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作//ab．（4）共线向量定理对空间中任意两个向量a，b0b，//ab的充要条件是存在实数，使ab．（5）直线的方向向量如图8-153所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线．对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取ABa，则式①可化为1OPOAtABOAtOBOAtOAtOB②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12t，即点P是线段AB的中点时，12OPOAOB，此式叫做线段AB的中点公式．（6）共面向量如图8-154所示，已知平面与向量a，作OAa，如果直线OA平行于平面或在平面内，则说明向量a平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,xy，使pxayb．推论：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,xy，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表达式．②已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OPxOAyOBzOC（其中1xyz）的点P与点A，B，C共面；反之也成立．知识点三：空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作,ab，通常规定0,ab，如果,2ab，那么向量a，b互相垂直，记作ab．（2）数量积定义已知两个非零向量a，b，则cos,abab叫做a，b的数量积，记作ab，即cos,ababab．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2aaa．（3）空间向量的数量积满足的运算律：abab，abba（交换律）；abcabac（分配律）．知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设123,,aaaa，123,,bbbb，则112233,,abababab；112233,,abababab；123,,aaaa；112233abababab；112233//0,,abbababab；1122330abababab．（2）设111,,Axyz，222,,Bxyz，则212121,,ABOBOAxxyyzz．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知123,,aaaa，123,,bbbb，则2222123aaaaa；2222123bbbbb；112233abababab；112233222222123123cos,ababababaaabbb；②已知111,,Axyz，222,,Bxyz，则222121212ABxxyyzz，或者,dABAB．其中,dAB表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量a在向量b上的投影为cos,abaabb．知识点五：法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量．几点注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0mn．第一步：写出平面内两个不平行的向111222，，，，，axyzbxyz；第二步：那么平面法向量，，nxyz，满足1112220000xxyyzznaxxyyzznb．（2）判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b．若a∥b，即ab，则∥ab；若⊥ab，即0ab，则⊥ab．②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，且⊥l．若a∥n，即an，则⊥l；若⊥an，即0an，则∥a．（3）平面与平面的位置关系平面的法向量为1n，平面的法向量为2n．若1n∥2n，即12nn，则∥；若1n⊥2n，即120nn，则⊥．知识点六：空间角公式．（1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则coscos,ababab．（2）线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,ananan．（3）二面角公式：设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,nn或12,nn（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnnn．知识点七：空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，ab的公垂线的方向向量为n，这时分别在，ab上任取，AB两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线，ab的距离．则||||||||nABndABnn即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A为平面外一点（如图），n为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH．|n||n|||||sin|||cos,|=||nnABABAHABABABnABAB||||ABndn【解题方法总结】用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单．用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算例1．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中是假命题的是（）A．任意向量与它的相反向量不相等B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C．如果0a，则0aD．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【解析】对于A，零向量0的相反向量是它本身，A错误；对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；对于C，如果0a，则0a，C正确；对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.故选：A.例2．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若ABa=，ADb，1AAc，则BM（）A．1122abcB．1122abcC．1122abcD．1122abc【答案】D【解析】因为M为11AC与i1BD的交点，所以111111122BMBABC，故1111111111111222222BMBBBMAABABCcABADabc.故选：D例3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若aAF，bCE，cBD，则OP=（）A．111333abcB．111333abcC．212333abcD．222333abc【答案】D【解析】取BC中点为M，1,21,212PFPAPCPACEPEPCPBPCBDPDPBPaAFcAPBb三个式子相加可得122abcPAPBPCPAPBPCabc+-+,又22113323OPAPAOPAAMPAABACPAPBPAPCPA------111112333333PAPBPAPCPAPAPBPCPAPBPCabc--=-+,故选：D变式1．（2023·高三课时练习）如图.空间四边形OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且满足2OMMA，点N为BC的中点，则MN（）A．121232abcB．221332abcC．111222abcD．211322abc【答案】D【解析】1221123322MNONOMOBOCOAabc.故选：D.变式2．（2023·湖南长沙·高三校联考期中）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且13MNOM，设OAa，OBb，OCc，则下列向量与AN相等的向量是（）A．1133abcB．1133abcC．1166abcD．1166abc【答案】A【解析】因为M在四面体OABC