第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（练习）（解析版）

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示（模拟精练+真题演练）1．（2023·江苏·统考模拟预测）在ABC中，2ADDB，点P在CD上，且1()3APmACABmR，则m（）A．15B．14C．13D．12【答案】D【解析】因为2ADDB，所以32ABAD，所以11313322APmACABmACADmACAD，又P，C，D三点共线，所以112m，得12m.故选：D.2．（2023·广东广州·华南师大附中校考三模）已知向量3,4a，4,bm，且abab，则b（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】abab，两边平方得22abab，展开整理得0ab.3440abm,解得3m.22435b故选：C3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足2ABBCAM，则MD（）A．12B．1C．22D．2【答案】C【解析】如图，2ABBCACAM，所以M是AC的中点，1222MDBD；故选：C.4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量2,5ar，,22bmmr，且//ab，则m（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因为//ab，所以2225mm，解得4m．故选：D5．（2023·江苏盐城·统考三模）已知ABCD是平面四边形，设p：2ABDC，q：ABCD是梯形，则p是q的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】A【解析】在四边形ABCD中，若2ABDC，则ABDC，且2ABDC，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当AD，BC为上底和下底时，满足四边形ABCD为梯形，但2ABDC不一定成立，即必要性不成立；故p是q的充分不必要条件.故选：A6．（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）在ABC中，记CBa，CAb，若2ADAB，则CD（）A．1122abB．1233abC．2abD．2ab【答案】D【解析】因为在ABC中，若2ADAB，所以点B为AD中点，所以22CDCBCAab.故选：D7．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）在ABC中，P是ABC中线AD的中点，过点P的直线MN交边AB于点M，交边AC于点N，且ABmAM，ACnAN，则mn（）A．14B．2C．12D．4【答案】D【解析】因为,,PMN三点共线，所以AMAPAN，且1，因为P是AD的中点，所以111244APADABAC，因为ABmAM，ACnAN，所以44mnAPAMAN，则144mn，得4mn.故选：D8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量1,1a，cos,sin0πb，则下列命题不正确的是（）A．1bB．若//ab，则tan1C．存在唯一的使得ababD．ab的最大值为5【答案】D【解析】由向量1,1a，cos,sin0b，对于A中，由22cossin1b，所以A正确；对于B中，若//ab，可得sincos且cos0，可得tan1，所以B正确；对于C中，若abab，可得22abab，整理得0ab，所以cossin0，可得tan1，因为0π，可得34，所以C正确；对于D中，由222π2212(cossin)322sin()4ababab，因为0π，所以ππ5π444，可得2πsin124，所以2ab的最大值为322，即ab的最大值为12，所以D错误.故选：D.9．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知向量1,2a，1,bm，则正确的是（）A．若1m，则13abB．若//ab，则2mC．若a与b的夹角为钝角，则12mD．若向量是c与a同向的单位向量，则525,55c【答案】ABD【解析】对于A，若1m，则2,3ab，所以13ab，故A正确；对于B，若//ab，则20m，所以2m，故B正确；对于C，若a与b的夹角为钝角，则0ab，且a与b不共线，即12020mm，解得12m，且2m，故C不正确；对于D，若向量是c与a同向的单位向量，则525,55aca，故D正确.故选：ABD.10．（多选题）（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（）A．若线段ACABBC，则向量ACABBCB．若向量ACABBC，则线段ACABBCC．若向量AB与BC共线，则线段ACABBCD．若向量AB与BC反向共线，则||ABBCABBC【答案】AD【解析】选项A：由ACABBC得点B在线段AC上，则ACABBC，A正确：选项B；三角形ABC，ACABBC，但ACABBC，B错误；对于C：AB，BC反向共线时，ACABBCABBC，故ACABBC，C错误；选项D：AB,BC反向共线时，()ABBCABBCABBC，故D正确．故选：AD．11．（多选题）（2023·江苏苏州·模拟预测）在ABC中，记ABa=，ACb，点D在直线BC上，且3BDDC.若ADmanb，则mn的值可能为（）A．2B．13C．13D．2【答案】BC【解析】当D点在线段BC上时，如图，331313444444ADABBDABBCABACABABACab，所以114334mn，当D点在线段BC的延长线上时，如图，331313222222ADABBDABBCABACABABACab，则112332mn，故选：BC.12．（多选题）（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知A，B，C是同一条直线上三个不同的点，O为直线外一点．在正项等比数列na中，已知42a，且23OAaOBaOC，则na的公比q的值可能是（）A．3B．13C．23D．23【答案】CD【解析】∵A，B，C是同一条直线上三个不同的点，且23OAaOBaOC，∴231aa．∵na为正项等比数列，所以公比0q．∴422234411aaqaaqqqa，∴2421qqa，∵0q，∴10q，∴222qq，即2220qq，解得13q（舍）或13q，∴13,q对于A，313,，故选项A不正确；对于B，1,313，故选项B不正确；对于C，2313,，故选项C正确；对于D，2,313，故选项D正确.故选：CD.13．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第一中学校考三模）设a，b是两个不共线的向量，若向量2kab与8akbrr的方向相反，则k__________.【答案】4【解析】由题意可知2kab与8akbrr共线，所以存在实数使288kabakbakb，因为a，b不共线，所以82kk，解得124k或124k，因为向量2kab与8akbrr的方向相反，即124k.故答案为：4.14．（2023·安徽·校联考模拟预测）给出下列命题：①若,ab同向，则有baba；②ab与ab表示的意义相同；③若,ab不共线，则有abab；④aab恒成立；⑤对任意两个向量,ab，总有abab；⑥若三向量,,abc满足0abc，则此三向量围成一个三角形．其中正确的命题是__________(填序号)【答案】①⑤【解析】对于①，若,ab同向，则ba与,ab同向，所以baba，故①正确；对于②，ab与ab前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；对于③，若,ab不共线，则有abab，故③不正确；对于④，若0b，则aab，故④不正确；对于⑤，对任意两个向量,ab，总有abab，故⑤正确；对于⑥，若三向量,,abc满足0abc，若,,abc中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在ABC中，90C∠，30B，BAC的平分线交BC于点D，若,RADABAC，则______．【答案】12/0.5【解析】在ABC中，90C∠，30B，则60BAC，又AD平分BAC，即有30CADDAB，因此2BDADCD，即有12CDDB，1()2ADACABAD，整理得1233ADABAC，而ADABAC，且,ABAC不共线，于是12,33，所以12.故答案为：1216．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知向量1,2,24,2,1,aabc，若//bc，则___________.【答案】1【解析】由1,2,24,2aab可得：2,2b，又因为1,c，由//bc可得：1220，解得：1.故答案为：1.17．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）在ABC中，已知2,BDCEEADC，BE与AD相交于O，若(,)xBOBAyxyRBC，则xy______．【答案】45/0.8【解析】因为2BDDC，CEEA，所以32BCBDuuuruuur，1()2BEBABC，因为BOxBAyBC，所以32BOBADxBy又BE与AD交于点O，所以312yx，另一方面，设(R)BOBE，因为1()2BEBABC，所以22BOBABCxyBABC，则2xy，代入312yx中，可解得252xy，则45xy.故答案为：45.18．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点(33,33)Q所跳跃次数的最小值是__________.【答案】10【解析】每次跳跃的路径对应的向量为111122223,4,4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5abcdabcdururururuurururuur，因为求跳跃次数的最小值，则只取11113,4,4,3,5,0,0,5abcdurururur，设对应的跳跃次数分别为abcd,,,，其中,,,abcdN，可得1111345,43533,33OQaabbccddabcabduuururururur则3453343533abcabd，两式相加可得7566abcd，因为,abcdN，则82abcd或39abcd，当82abcd时，则次数为8210；当39abcd，则次数为3912；综上所述：次数最小值为10.故答案为：10.1．（2023•北京）已知向量a，b满足(2,3)ab，(2,1)ab，则22||||(ab)A．2B．1C．0D．1【答案】B【解析】(2,3)ab，(2,1)ab，(0,2)a，(2,1)b，22||||451ab．故选：B．2