第01讲 数列的基本知识与概念（练习）（解析版）

第01讲数列的基本知识与概念（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列na满足：11a，21a，21nnnaaa，若3579112kaaaaaaa，则k等于（）A．12B．13C．89D．144【答案】A【解析】由斐波那契数列的性质可得：2357911457911791191681011112,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa所以k等于12.故选:A.2．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列na满足1111112,1nnnnaaaaa，则2023a（）A．2B．12C．3D．13【答案】B【解析】因为111111nnnnaaaa，所以111nnnaaa.又因为12a，所以23451111121311323,,,2,111213231123aaaa，所以na是周期为4的数列，故2023312aa.故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）著名的波那契列na：1，1，2，3，5，8，，满足121aa，*21nnnaaanN，那么357920211aaaaa是斐波那契数列中的（）A．第2020项B．第2021项C．第2022项D．第2023项【答案】C【解析】因为121aa，所以357920211aaaaa235792021aaaaaa45792021aaaaa6792021aaaa202020212022aaa.故选：C4．（2023·宁夏银川·校联考二模）数列na满足21111nannn，*Nn，则2a等于（）A．12B．14C．111234D．1124【答案】C【解析】因为21111nannn，所以22111111232234a.故选：C5．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若数列na中，135a，214a，且*21Nnnnaaan，记数列na的前n项积为n，则20232022a的值为（）A．1B．35C．12D．14【答案】D【解析】由题意，得3512a，453a，54a，6125a，735a，814a，发现数列na是以6为周期的数列，且前6项积为1，则202335，2022125a，所以原式的值为14，故选：D．6．（2023·全国·高三专题练习）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列na时，发现其递推公式*21,Nnnnaaan就可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即3124321225431223aaaaaaaaaaaaaaaa，如果该数列na的前两项分别为121,2aa，其前n项和记为nS，若2023am，则2021S（）A．2mB．212mC．2mD．2m【答案】D【解析】由*21,Nnnnaaan得，*21,Nnnnaaan所以2021202120202019321Saaaaaa202320222022202120212020544332aaaaaaaaaaaa，202322aam.故选：D.7．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知数列na，若12146naan，则7a（）A．9B．11C．13D．15【答案】B【解析】由12146naan，令1n，则11462aa，则11a，令4n，则7144610aa，则711a.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4nnnnanNn，则的取值范围是（）A．1,2B．51,4C．51,4D．71,5【答案】D【解析】数列na是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4nnnnanNn，则5410314(1)5(3)5，解得715，故的取值范围是71,5故选：D9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（）A．已知13nnaa，则数列na是递增数列B．数列na的通项22nankn，若na为单调递增数列，则2kC．已知正项等比数列na，则有1845aaaaD．已知等差数列na的前n项和为24,4,10nSSS，则618S【答案】AD【解析】对于A中，由13nnaa，可得13nnaa，所以数列na是递增数列，所以A正确；对于B中，若数列na的通项22nankn，则22121)(1)2()[(]210nnnknnkaaknn恒成立，所以3k，所以B错误；对于C中，正项递增的等比数列na，若11,2aq，可得734184512129,2224aaaa，此时1845aaaa，所以C不正确；对于D中，等差数列na的前n项和为nS且244,10SS，根据24264,,SSSSS构成等差数列，即64,6,10S构成等差数列，可得641026S，解得618S，所以D正确.故选：AD.10．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的通项公式为32nnnka，若数列na是递减数列，则实数k不能取的值是（）A．1B．0C．1D．2【答案】AB【解析】由题意得：数列na是递减数列10nnaa对于一切的Nn恒成立即1113(1)3330222nnnnnnknknkaa对于一切的Nn恒成立故33kn对于一切的Nn恒成立，当1n时，33n有最大值0故0k，所以(0,)k故选：AB11．（多选题）（2023·河北沧州·高三沧州市一中校考阶段练习）对任意的1(0,1)a，由关系式1()nnafa得到的数列满足1nnaanN，则函数()yfx的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由1nnafa且1nnaa，即nnfaa，即函数()fx图象上任意一点(,)xy都满足yx，结合选项可知函数()yfx的图象不可能是BCD，故选：BCD.12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若数列{}na满足1112,012,1321,12nnnnnaaaaaa剟，则数列{}na中的项的值可能为（）A．13B．2C．23D．45【答案】AC【解析】由题意可得21223aa，321213aa，43223aa，所以数列{}na是周期为2的数列，所以数列{}na中的项的值可能为13，23．故选：AC．13．（多选题）（2023·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列na满足13a，111nnaa，记数列na的前n项和为nS，则（）A．232aB．31312nnSSC．121nnnaaaD．1922S【答案】CD【解析】因为13a，111nnaa，所以221121133aa，故A错误；3211111223aa，4131111312aaa，所以数列na是以3为周期的周期数列，所以3133113nnnaSSa，故B错误；因为1111nnnnaaaa，2111111111nnnnnnnnaaaaaaaa，所以121111nnnnnnnaaaaaaa，故C正确；191231819123192166332232Saaaaaaaaa，故D正确；故选：CD14．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，已知13a，20a，且12,N(3)nnnnaaan，则2021a___________．【答案】0【解析】由13a，20a，可得33a，413aa，520aa，…，所以na是以3为周期的周期数列，因为202136732=，所以202120aa，故答案为：0．15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，且111nnnaaa，则2021a______．【答案】2【解析】由数列na满足12a，且111nnnaaa，可得12a，23a，312a，413a，512aa，623aa，…，所以na是以4为周期的周期数列，所以50542021112aaa．故答案为：2.16．（2023·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）设0a且1a，已知数列nb满足5(3)2,6,6nnannban，且nb是递增数列，则a的取值范围是__________．【答案】(2,3)【解析】因为nb是递增数列，所以75301(3)62aaaa解得23a，故答案为:(2,3).17．（2023·全国·高三专题练习）已知11312nna，若存在常数,ABR，使得对任意的正整数n都有nAaB，则BA的最小值为______.【答案】92/4.5【解析】因为11312nna，由已知nAaB，所以minnAa，maxnaB，设11132nnnba，则214nnbb，13b，232b，所以1321nbbb，242nbbb，所以332nb≤≤，所以3132na≤≤，故522na≤≤，所以52A≤，2B，52A≥，所以92BA≥，所以B－A的最小值为92，故答案为：92.18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2log,()1,xxafxxxa，数列na满足()nafn，n为正整数，若3naa，则实数a的取值范围是_______.【答案】[3,4)【解析】当xa时，函数()fx严格单调递减，当xa时，函数()fx严格单调递增，所以当xa时，()fx取到最小值，因为数列na满足*(),nafnnN，若3naa，则3a是数列的最小项，所以34a，故实数a的取值范围是[3,4).故答案为:[3,4).19．（2023·全国·高三专题练习）知数列na的通项公式为*252nnnanN，则数列na的最大项为第______项．【答案】4【解析】解法一：∵111232527222nnnnnnnnaa，∴当4n时，1nnaa；当3n时，1nnaa，即412356aaaaaa，故数列na的最大项为第4项．解法二：设数列na中的最大项为ka，则11,?.?kkkkaaaa即112523,222527,22kkkkkkkk