第02讲 等差数列及其前n项和（十大题型）（讲义）（原卷版）

第02讲等差数列及其前n项和目录考点要求考题统计考情分析（1）理解等差数列的概念．（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．（4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．2023年甲卷（文）第5题，5分2023年I卷第7题，5分2022年上海卷第10题，5分2022年乙卷（文）第13题，5分（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算．（2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．知识点一．等差数列的有关概念（1）等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为1－nnaad（常数）*()2，nNn．（2）等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有=2abA．知识点二．等差数列的有关公式（1）等差数列的通项公式如果等差数列{}na的首项为1a，公差为d，那么它的通项公式是1(1)naand．（2）等差数列的前n项和公式设等差数列{}na的公差为d，其前n项和11()(1)22nnnaannSnad．知识点三．等差数列的常用性质已知{}na为等差数列，d为公差，nS为该数列的前n项和．（1）通项公式的推广：*())(，nmaanmdnmN．（2）在等差数列{}na中，当mnpq时，*()，，，mnpqaaaamnpqN．特别地，若2mnt，则*()2，，mntaaamntN．（3）2＋＋，，kkmkmaaa，…仍是等差数列，公差为*()，mdkmN．（4）232，－，－nnnnnSSSSS，…也成等差数列，公差为2nd．（5）若{}na，{}nb是等差数列，则{}nnpaqb也是等差数列．（6）若{}na是等差数列，则{}nSn也成等差数列，其首项与{}na首项相同，公差是{}na公差的12．（7）若项数为偶数2n，则2121()()nnnnSnaanaa；奇偶－＝SSnd；1奇偶nnSaSa．（8）若项数为奇数21n，则2121()－nnSna；奇偶=－nSSa；1奇偶SnSn．（9）在等差数列{}na中，若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最大值mS；若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最小值mS．知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系21()22nddSnan．数列{}na是等差数列⇔2nSAnBn（、AB为常数）．知识点五．等差数列的前n项和的最值公差0{}nda为递增等差数列，nS有最小值；公差0{}nda为递减等差数列，nS有最大值；公差0{}nda为常数列．特别地若100ad，则nS有最大值（所有正项或非负项之和）；若100ad，则nS有最小值（所有负项或非正项之和）．知识点六．其他衍生等差数列．若已知等差数列{}na，公差为d，前n项和为nS，则：①等间距抽取2(1),,,,pptptpntaaaa为等差数列，公差为td．②等长度截取232,,,mmmmmSSSSS为等差数列，公差为2md．③算术平均值312,,,123SSS为等差数列，公差为2d．【解题方法总结】（1）等差数列{}na中，若,(,,)nmamanmnmnN，则0mna．（2）等差数列{}na中，若,(,,)nmSmSnmnmnN，则()mnSmn．（3）等差数列{}na中，若(,,)nmSSmnmnN，则0mnS．（4）若{}na与{b}n为等差数列，且前n项和为nS与nT，则2121mmmmaSbT．题型一：等差数列的基本量运算例1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列na满足：11a，且满足*1(N)nnaann，则2023a（）A．1012B．1013C．2022D．2023例2．（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和是376,1,3nSaSa，则3S（）A．1B．1C．3D．3例3．（2023·四川凉山·三模）在等差数列na中，242aa，53a，则9a（）．A．3B．5C．7D．9变式1．（2023·江西新余·统考二模）记nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，若23aS，134aaS，则数列na的公差为（）A．2B．1C．2D．4变式2．（2023·广西·统考模拟预测）设na为等差数列，若31421,5aaa，则公差d（）A．－2B．－1C．1D．2变式3．（2023·山西·高三校联考阶段练习）记nS为等差数列na的前n项和，若3531,8Saaa，则7a（）A．30B．28C．26D．13【解题方法总结】等差数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差d或项数n．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．1a和d是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．题型二：等差数列的判定与证明例4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列na的前n项和为1,23nnnSSna，且11a.(1)求证：数列nan是等差数列；(2)求数列1na的前n项和nT.例5．（2023·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记nS为数列{}na的前n项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{}na是等差数列；①数列nSn是等差数列；②*12nnnaSnN(2)若数列{}na为等差数列，且11a，35a，求数列(2)nnnS的前n项和nT．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足123a，*1223nnnaanaN．(1)证明：11na是等差数列，并求出na的通项na．(2)证明：12311naaaan．变式4．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列na满足，11,21,N2,2nnnankakank，1=1a.(1)若数列nb为数列na的奇数项组成的数列，证明：数列nb为等差数列；(2)求数列na的前50项和.变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为0nnSS，数列nS的前n项积为nT，且满足nnnnSTST*Nn．(1)求证：11nS为等差数列；(2)记21nnbnS，求数列nb的前2023项的和M．变式6．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知数列na中，11a，当2n时，其前n项和nS满足：21nnnSaS，且0nS，数列nb满足：对任意*nN有11212122nnnbbbnSSS.(1)求证：数列1nS是等差数列；(2)求数列nb的通项公式；(3)设nT是数列122nnnbb的前n项和，求证：32nT.【解题方法总结】判断数列na是等差数列的常用方法（1）定义法：对任意*1,nnnaaN是周一常数．（2）等差中项法：对任意*2,nnN…，湍足112nnnaaa．（3）通项公式法：对任意*nN，都满足(,napnqpq为常数）．（4）前n项和公式法：对任意*nN，都湍足2(,nSAnBnAB为常数）．题型三：等差数列的性质例7．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列{}na满足246πaaa，则17cosaa（）A．12B．12C．22D．32例8．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设nS为等差数列na的前n项和，若21105S，则11a（）A．5B．6C．7D．8例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足122nnnaaa，其前n项和为nS，若918S，则5a（）A．2B．0C．2D．4变式7．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列na中，34512aaa，那么127aaa（）A．14B．12C．28D．36变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是等差数列，若19177aaa，则315aa等于（）A．7B．14C．21D．7(n-1)变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na中，246aa，则12345aaaaa（）A．30B．15C．56D．106【解题方法总结】如果{}na为等差数列，当mnpq时，*()，，，mnpqaaaamnpqN．因此，出现－＋，，mnmmnaaa等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与ma（或其他项）有关的条件；若求ma项，可由1=()2－＋mmnmnaaa转化为求am－n＋an＋m的值．题型四：等差数列前n项和的性质例10．（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列na，nb的前n项和分别为nS和nT，已知723nnSnTn，则77ab______．例11．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，且313nnSnTn，则8511abb______.例12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列na，nb的前n项和分别是nS，nT，已知3123nnSnTn，则33ab______.变式10．（2023·高三课时练习）已知数列na与nb均为等差数列，且前n项和分别为nS与nT，若321nnSnTn，则55ab______．变式11．（2023·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则456aaa_________变式12．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列na的前n项和为nS，若1020S，3090S，则20S___________变式13．（2023·全国·高三专题练习）等差数列na中，12020a，前n项和为nS，若101221210SS，则2022S______.变式14．（2023·全国·高三对口高考）已知等差数列na的前n项和为nS，若公差12d，100145S；则35991aaaa的值为__________.变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则5a______.变式16．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）在等差数列na中，前m项（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且112maa，则na的通项公式为na______.【解题方法总结】在等差数列中，232，－，－nnnnnSSSSS，…仍成等差数列；{}nSn也成等差数列．题型五：等差数列前n项和的最值例13．（2023·全国·高三专题练习）已知nS为等差数列na的前n项和，且235S，23439aaa，则当nS取最大值时，n的值为___________.例14．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列na的前n项和为nS，已知120S，130S，则以下选