第03讲 三角函数的图象与性质（练习）（解析版）

第03讲三角函数的图象与性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）将函数()sin3cos1fxxx的图像向右平移π6个单位长度，得到函数()gx的图像，则下列正确的是（）A．直线2π3x是()gx图像的一条对称轴B．()gx的最小正周期为2π3C．()gx的图像关于点11π(,1)6对称D．()gx在[π,2π]上单调递增【答案】C【解析】由13()sin3cos12sincos122fxxxxxπ2sin13x，则fx图像向右平移π6个单位长度可得，πππ()2sin12sin1636gxxx，因为2ππ5π366，所以2π3x不是()gx图像的一条对称轴，A错；由221ππ，得()gx的最小正周期为2π，B错；由11ππ2π66，所以点11π(,1)6是()gx图像的一个对称中心，C正确；由π2πx，则7ππ13π666x，所以()gx在[π,2π]上有增有减，D错.故选：C2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数5ππ2sinsin63fxxx图象的对称轴可以是（）A．直线5π12xB．直线π3xC．直线π6xD．直线2π3x【答案】A【解析】πππππ2π2sinsin2cossinsin2323333fxxxxxx，令2ππ2πZ32xkk，解得ππZ122kxk，所以fx的对称轴为直线ππZ122kxk，当1k时，5π12x.故选：A.3．（2023·河南·襄城高中校联考三模）将函数fx的图象上所有点向右平移π6个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数sinyx的图象，则fx在区间π0,4上的值域为（）A．3,12B．1,12C．1,12D．3,12【答案】C【解析】将sinyx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到sin2yx的图象，再将sin2yx图象上所有点向左平移π6个单位长度得到πsin23fxx的图象．当π0,4x时，ππ5π2,336x，π1sin2,132x．故选：C.4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3fxx，若对于任意实数x，都有π()()3fxfx，则的最小值为（）A．2B．52C．4D．8【答案】C【解析】因为对于任意实数x，都有π()()3fxfx，则有函数()fx图象关于点π(,0)6对称，因此πππ,Z63kk，解得62,Zkk，而0，所以当1k时，取得最小值4.故选：C5．（2023·河南·校联考模拟预测）某次实验得交变电流i（单位：A）随时间t（单位：s）变化的函数解析式为siniAt，其中π0,0,2A且0,t，其图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．100πB．π4C．当380t时，0iD．当980t时，10i【答案】D【解析】由题知20.02250.01250.02T，则100π，又10A，则10sin100πit，所以当0t时，10sin52，则2sin2，又π2，则π4，因此π10sin100π4it，所以当380t时，3π10sin100π10sin4π0804i，当980t时，9π3π10sin100π10sin108042i，因此ABC正确，D错误，故选：D.6．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A．tanfxxB．fxxC．2xfxD．2fxx【答案】C【解析】A.tanfxx的增区间为πππ,π,Z22kkk，在整个定义域上不单调，故错误；B.fxx的增区间是[0,)，在整个定义域上不单调，故错误；C.2xfx在R上递增，故正确；D.2fxx的增区间是[0,)，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C7．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数πcos26fxx，sin2gxx，将函数fx的图象经过下列变换可以与gx的图象重合的是（）A．向左平移π3个单位B．向左平移π6个单位C．向右平移π3个单位D．向右平移π6个单位【答案】D【解析】因为πsin2cos22gxxx，所以将πcos26fxx向右平移π6个单位得到πππcos2cos2662yxxgx.故选：D8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数π2cos23fxx，则关于fx的下列结论不正确的是（）A．fx的图象关于直线π6x对称B．fx的图象关于点7π,012对称C．fx在区间π0,3上是单调递减函数D．将2sin2yx的图象向左平移5π6个单位即可得到fx的图象【答案】D【解析】∵2cos22cos02663f，∴fx的图象关于直线6x对称，故A正确；∵7732cos22cos0121232f，∴fx的图象关于点7,012对称，故B正确；令23tx，则,3t，函数2cosgtt在区间,3上是减函数，根据复合函数的单调性知，fx在区间0,3上是单调递减函数，故C正确；∵π552cos22sin22sin22sin2323612fxxxxx，∴将2sin2yx的图象向左平移5π(Z)12kk个单位即可得到fx的图象，而55π126k时，Zk，故D错误，故选：D.9．（多选题）（2023·福建漳州·统考模拟预测）把函数sinyx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数ygx的图象，则（）A．gx在π5π,36上单调递减B．gx在0,π上有2个零点C．ygx的图象关于直线π12x对称D．gx在π,02上的值域为33,22【答案】BC【解析】把函数sinyx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin2yx的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数πsin(2)3ygxx的图象，π5π(,)36x时，π2(π,2π)3x，则gx在π7π(,)312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A错误；令0gx，得π2π(Z)3xkk，即ππ26kx，因为[0,π]x，所以ππ0π26k，解得1733k，因为Zk，所以1k或2k，所以gx在0,π上有2个零点，故B正确；因为ππππ()sin(2)sin1121232g，为gx的最大值，所以直线π12x是ygx的图象的一条对称轴，故C正确；当π,02x时，π2ππ2,333x，3()1,2gx，故D错误.故选：BC10．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知函数sin23cos2fxxx的图象向左平移0）个单位长度后对应的函数为gx，若gx在ππ[,]46上单调，则的可取（）A．π12B．π6C．π3D．5π12【答案】CD【解析】依题意，π()2sin(2)3fxx，于是π()()2sin(22)3gxfxx，当ππ[,]46x时，ππ2π(22)[2,2]363x，当()gx在ππ[,]46上单调递增时，π2πππ[2,2][2π,2π],Z6322kkk，即ππ22π62,Z2ππ22π32kkk，解得ππππ,Z612kkk，不存在整数k使得取得ABCD选项中的值；当()gx在ππ[,]46上单调递减时，π2ππ3π[2,2][2π,2π],Z6322kkk，即ππ22π62,Z2π3π22π32kkk，解得π5πππ,Z312kkk，当1k时，π5π312，CD符合，不存在整数k使得取得AB选项中的值.故选：CD11．（多选题）（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数3sin2fxx的初相为π6，则下列结论正确的是（）A．fx的图象关于直线π3x对称B．函数fx的一个单调递减区间为5ππ,63C．若把函数fx的图象向右平移π12个单位长度得到函数gx的图象，则gx为偶函数D．若函数fx在区间ππ,64上的值域为333,22【答案】AB【解析】由题意知π6，所以π3sin26fxx．对于选项A，π33f，所以fx的图象关于直线π3x对称，故A项正确；对于选项B，由ππ3π2π22π262kxk，Zk，得π2πππ63kxk，Zk，则当1k时，函数fx的一个单调递减区间为5ππ,63，故B项正确；对于选项C，fx的图象向右平移π12个单位长度得到函数ππ3sin23sin2126gxxx的图象，所以gx为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为ππ64x，所以ππ2π2663x，所以1πsin2126x，所以π3sin23263x，即：()fx在区间ππ[,]64上的值域为3[,3]2，故D项错误．故选：AB.12．（多选题）（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知函数π2sin0,2fxx，其图象相邻对称轴间的距离为π2，点π,03是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（）A．函数fx的最小正周期为πB．函数fx图象的一条对称轴方程是π12xC．函数fx在区间π5π,1212上单调递增D．将函数fx图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，可得到正弦函数singxx的图象【答案】ACD【解析】因为函数fx图象相邻对称轴间的距离为π2，则π22T，即πT，所以A正确；因为πT，则2，即2sin2xxf，且点π,03是对称中心，当π3x时，π2π3kkZ，即2ππ3kkZ，又π2，所以π3，即π2sin23fxx.令ππ2π32xkkZ,解得5ππ122kxkZ，所以函数fx的对称轴为5ππ122kxkZ，所以B错误；令πππ2π22π232kxkk