第05讲 一元二次不等式及其应用（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第05讲一元二次不等式及其应用（精讲）题型目录一览①不含参数的一元二次不等式的解法②含参数的一元二次不等式的解法③一元二次不等式综合应用④分式不等式与绝对值不等式的解法1.一元二次不等式一元二次不等式20(0)axbxca，其中24bac，12,xx是方程20(0)axbxca的两个根，且12xx（1）当0a时，二次函数图象开口向上.（2）①若0，解集为21|xxxxx或.②若0，解集为|2bxxRxa且.③若0，解集为R.(2)当0a时，二次函数图象开口向下.①若0，解集为12|xxxx②若0，解集为2.分式不等式（1）()0()()0()fxfxgxgx（2）()0()()0()fxfxgxgx（3）()()0()0()0()fxgxfxgxgx（4）()()0()0()0()fxgxfxgxgx一、知识点梳理3.绝对值不等式（1）22()()[()][()]fxgxfxgx（2）()()(()0)()()()()fxgxgxfxgxfxgx或；()()(()0)()()()fxgxgxgxfxgx；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【常用结论】1.已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得:01)1(2cxbxa的解集为)11(mn，，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(mn，．已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，，解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得:01)1(2cxbxa的解集为)1[]1(，，mn即关于x的不等式02abxcx的解集为)1[]1(，，mn．2.已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，（其中0mn），解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得:01)1(2cxbxa的解集为)11(nm，即关于x的不等式02abxcx的解集为)11(nm，．3.已知关于x的不等式02cbxax的解集为)(nm，，解关于x的不等式02abxcx．由02cbxax的解集为)(nm，，得:01)1(2cxbxa的解集为)1[]1(，，nm即关于x的不等式02abxcx的解集为)1[]1(，，nm，以此类推．4.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；5.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a；6.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为R，则一定满足00a；7.已知关于x的一元二次不等式02cbxax的解集为，则一定满足00a．题型一不含参数的一元二次不等式的解法策略方法解一元二次不等式的四个步骤【典例1】函数223fxxx的定义域是（）A．1,3B．,13,C．3,1D．,31,【答案】A【分析】结合已知条件，求解不等式2230xx即可得到答案.【详解】由223fxxx可知，2230xx，即2230xx，解得13x，故()fx的定义域为1,3.故选：A.【典例2】不等式(2)0xx的解集为（）A．2xxB．2xxC．0xx或2xD．02xx【答案】D【分析】直接解不含参一元二次不等式即可.【详解】因为(2)00xxx或2x，则()(2)fxxx图象如图所示，二、题型分类精讲所以(2)0xx解集为{|02}xx.故选：D.【题型训练】一、单选题1．（2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ））已知集合2{|340},{4,1,3,5}AxxxB，则AB（）A．{4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得AB，得到结果.【详解】由2340xx解得14x，所以|14Axx，又因为4,1,3,5B，所以1,3AB，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2．（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）理科数学试题）已知集合250,{21,}AxxxBxxnnN∣∣，则AB（）A．{0,1,2,3,4,5}B．{1,2,3,4,5}C．{1,3,5}D．{3,5}【答案】C【分析】解不等式，得到05Axx，结合集合B的元素特征，得到交集.【详解】250xx，解得05x；集合A元素满足21,xnnN，当0n时，1x满足要求，当1n时，3x满足要求，当2n时，5x满足要求，其他均不合要求，故{1,3,5}AB.故选：C．3．（陕西省榆林市2023届高三三模数学试题）若椭圆222211mxmy的焦距大于2，则m的取值范围是（）A．11,22B．11,00,22C．1,1D．1,00,1U【答案】D【分析】由椭圆方程表示出焦距，解不等式即可.【详解】椭圆222211mxmy化为标准方程为22221111xymm，则0m，若椭圆222211mxmy的焦距大于2，则有22211212mm，整理得4220mm，解得201m，故1,00,1m．故选：D二、填空题4．不等式212302xx的解集为______．【答案】3535,44【分析】求得不等式对应的方程的解，即可求得一元二次不等式的解集.【详解】不等式212302xx即24106xx，24610xx的根为123535,44xx，故24106xx的解集为3535,44，即不等式212302xx的解集为3535,44，故答案为：3535,445．不等式21293xx的解集为______．【答案】13【分析】根据不等式，解出即可.【详解】解:由题知不等式为21293xx,即29610xx,即2310x,解得13x,所以解集为13.故答案为:136．若方程22212xyaa表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______.【答案】2,12,【分析】由题意建立不等式，即可求得实数a的取值范围．【详解】∵方程22212xyaa表示焦点在x轴上的椭圆，∴220aa，解得21a或2a，∴实数a的取值范围是2,12,．故答案为：2,12,．题型二含参数的一元二次不等式的解法策略方法解含参不等式的分类讨论依据【典例1】关于x的不等式2220axaxaR的解集不可能．．．是（）A．B．RC．2,1aD．2,1,a【答案】A【分析】先化简不等式，然后根据a的取值进行分类讨论，由此求解出不可能的解集.【详解】因为2220axaxaR，所以210axx，当0a时，210xxa，不等式解集为2,1a；当0a时，220x，不等式解集为,1；当a0时，210xxa，若20a，21a，解集为2,1,a；若2a，21a，解集为R；若2a，21a，解集为2,1,a；所以解集不可能是，故选：A.【题型训练】一、单选题1．（辽宁省丹东市2023届高三总复习质量测试（一）数学试题）已知集合*N|10Axxxa，3,2,1B，若AB且AB，则a（）A．3B．2C．0D．1【答案】D【分析】根据含参一元二次不等式的对a分类讨论得解集，确定集合A的取值情况，再结合集合,AB的关系，确定a的取值.【详解】当1a时，2*N|10Axx，不符合题意；当1a时，**N|10N|1Axxxaxax，不符合题意；当1a时，**N|10N|1Axxxaxxa，又3,2,1B，AB且AB，则1A，故a得取值范围为1,2，故符合条件的1a.故选：D.2．（华大新高考联盟2023届高三下学期3月教学质量测评理科数学试题）若集合210Axxaxa，集合11Bxx，满足12ABxx的实数a的取值范围是（）A．3aB．3aC．3aD．3a【答案】D【分析】解不等式可求得集合B，根据交集结果可确定集合A，由此可构造不等式求得结果.【详解】由11x得：111x，解得：02x，即0,2B；由210xaxa得：110xax，12ABxx，11Axxa，12a，解得：3a.故选：D.二、填空题3．（沪教版（2020）一轮复习堂堂清第一单元1.6一元二次不等式）已知关于x的不等式组222022550xxxkxk的整数解的集合为2,则实数k的取值范围是______．【答案】3,2【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为2，根据数轴即可得出结果.【详解】由220xx，解得1x或2x，由222550xkxk，即250xxk，当52k时，250xxk的解为52kx，故不等式组的解集为52xkx，因为522，不符合不等式组的解集中有整数2，故舍去；当52k时，不等式222550xkxk为22521002xx，即25202x，所以不等式无解，不符合题意，故舍去；当52k时，250xxk的解为52xk，若需不等式组的整数解的集合为2，由数轴可知只需23k，解得32k，综上，实数k的取值范围是32k.故答案为：3,2.4．（重庆市第十一中学2023届高三上学期10月自主质量抽测数学试题）设21:0,:102xxmxmx，若是的充分条件，求实数m的取值范围是___________.【答案】2mm【分析】先利用分式不等式求解，再利用一元二次不等式化简集合，再由充分条件的定义可知，即可求得数m的取值范围.【详解】1:02xx，:21x2:10xmxm，10xxm，若是的充分条件,则，当m1时，:1xm，此时不满足，故舍去；当1m时，:1mx，若满足，则2m.综上：2m.故答案为：2m三、解答题5．解下列关于x的不等式：