专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)（解析版）

专题02数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.........................................................................................................1二、典型题型.........................................................................................................2题型一：累加法................................................................................................2题型二：累乘法................................................................................................4三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练....................................................7一、必备秘籍一、累加法（叠加法）若数列na满足)()(*1Nnnfaann，则称数列na为“变差数列”，求变差数列na的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121nnffffaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：21(1)aaf32(2)aaf43(3)aaf1(1)nnaafn将上述1n个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：2132431()()()()nnaaaaaaaa=(1)(2)(3)(1)ffffn整理得：1naa=(1)(2)(3)(1)ffffn二、累乘法（叠乘法）若数列na满足)()(*1Nnnfaann，则称数列na为“变比数列”，求变比数列na的通项时，利用)2()1()3()2()1(113423121nnffffaaaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：21(1)afa32(2)afa43(3)afa1(1)nnafna将上述1n个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：2341231(1)(2)(3)(1)nnaaaaffffnaaaa整理得：1(1)(2)(3)(1)naffffna二、典型题型题型一：累加法例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{na}中，12a，且1(1)1nnnnaa.其中*Nn，(1)求数列{na}的通项公式；【答案】(1)11nan，*Nn；【详解】（1）（法一）由題意知，111111nnaannnn，则1121111,,112nnaaaann，累加得：111naan且2n，又12a，故11nan，而12a符合上式，故*1N,1nnan.（法二）由题意知，1111,11nnaannnn则1111nnaann，所以111111,11nnaaann则11nan.例题2．（2023·浙江·模拟预测）已知数列na满足*2112231111112,,Nnnnnaanaaaaaaaa(1)若11a，求数列na的通项na；【答案】(1)nan【详解】（1）当2n,*1223111111,Nnnnnnaaaaaaaa①,*1223111111,Nnnnnnaaaaaaaa②,①②可得*111111,Nnnnnnnnaaaaaa,左右同时乘以11nnaann可以得出:11*,N11nnaannannn,即得*111,N1nnaaannnnn当3n时,33141211213,,,,122321221nnaannaaaaaaann应用累加法可得:2111112123112111111++2111=131221naaananannnn211111naaaann,当3n时,11211112,111nnaaaaaanaaannn，,11naan，Q,且112=22=1aaa，,nan例题3．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列na满足11a，且111nnnana．(1)求na的通项公式；【答案】(1)21nan【详解】（1）因为111nnnana，所以1111111nnaannnnnn，所以11221111221nnnnnaaaaaaaannnnn1111111121212nnnnn，所以21nan．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足1211nnaan（2n），且114a，求数列na的通项公式．【答案】22121nnann（nN）．【详解】由题意得1211nnaan（2n），即212121aa，322311aa，，1211nnaan，所以n1个式子累加得122211121311naan，因为211n111111111211211nnnnnnnn，所以122211121311naan111111111()213224211nn111111(1)232411nn11111221nn321421nnn（2n），因为114a，所以2321121421421nnnannnn（2n），又当1n时，21211121114a，所以22121nnann（nN）．题型二：累乘法例题1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列{}na中，21a，设nS为{}na前n项和，2nnSna．(1)求{}na的通项公式；【答案】(1)1,Nnann【详解】（1）解：由数列{}na中，21a，且2nnSna当1n时，112Sa，解得10a，当2n时，可得112(1)nnSna，所以12(1)nnnanana，即1(1)(2)nnnana，则当3n时，可得112nnanan，所以2234111232nnaann，当2n或1n时，10a，21a适合上式，所以数列{}na的通项公式为1nan.例题2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列{}na中，13a，*1(21)(23)(N)nnnanan．(1)求数列{}na的通项公式；【答案】(1)(21)(21)nann（Nn）【详解】（1）因为1(21)(23)nnnana，（Nn），所以12321nnanan，（Nn），所以2151aa，3273aa，4395aa，…，122125nnanan，12123nnanan（2n且Nn），所以324123157921211352523nnaaaannaaaann（2n且Nn），整理得：1(21)(21)13nanna（2n且Nn），即1(21)(21)3nnnaa，（2n且Nn），又因为13a，所以(21)(21)nann，（2n且Nn），当1n时，1133a适合上式，所以(21)(21)nann，（Nn）.例题3．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列na满足116nnnaa，12Nan．(1)求na的通项公式；【答案】(1)212nna【详解】（1）∵116nnnaa，12a，则28a，∴11216nnnaa，两式相除得：216nnaa，当21nk时，1357211352316kkkaaaaaaaa，∴324112162kkka，即212nna，当2nk时，168242462216kkkaaaaaaaa，∴12412816kkka，即212nna，综上所述，na的通项公式为：212nna；例题4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列{}na中，13a，*1(21)(23)(N)nnnanan．(1)求数列{}na的通项公式；【答案】(1)(21)(21)nann（Nn）【详解】（1）因为1(21)(23)nnnana，（Nn），所以12321nnanan，（Nn），所以2151aa，3273aa，4395aa，…，122125nnanan，12123nnanan（2n且Nn），所以324123157921211352523nnaaaannaaaann（2n且Nn），整理得：1(21)(21)13nanna（2n且Nn），即1(21)(21)3nnnaa，（2n且Nn），又因为13a，所以(21)(21)nann，（2n且Nn），当1n时，1133a适合上式，所以(21)(21)nann，（Nn）.例题5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列na满足*111,2,2nnanananN．(1)求数列na的通项公式；【答案】(1)*1,1nnannN【详解】（1）由12nnnana可得12nnanan，当2n时，111nnanan，122121,,3nnaanana，将以上各式相乘可得：121,11nnaaannnn，当1n时，112a成立；所以*1,1nnannN三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练一、单选题1．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）数列na、nb满足：18a，*18,2nnaannnN，9110nnnba，则数列nb的最大项是（）A．第7项B．第9项C．第11项D．第12项【答案】B【详解】2n时，18nnaan，1281nnaan，，2116aa，将上式累加，得116814812nnnaann，解得2442nannn（对于1n同样成立），故92110nnbn，令11kkkkbbbb，即1199212110109921231010kkkkkkkk