9.4 抛物线（精练）（学生版）

9.4抛物线（精练）1．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点到该抛物线焦点F的距离为（）A．225mB．275mC．330mD．380m2．（2023春·河北廊坊）已知抛物线2:8Cyx，过点1,0的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率之积为（）A．8B．8C．4D．43．（2023秋·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，若直线4x与C交于A，B两点，且8AB，则AF（）A．4B．5C．6D．74．（2023·四川资阳·统考三模）已知抛物线C：28yx，过点2,1P的直线l与抛物线C交于A，B两点，若APBP，则直线l的斜率是（）A．4B．4C．14D．145．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线2:18Cyx于M，N两点，且MN的中点为5,3，则直线l的斜率为（）A．95B．32C．3D．1856．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）F为C：22(0)ypxp的焦点，点M在曲线C上，且M在第一象限，若3MF，且直线MF斜率为22，则MFO△的面积（）A．1B．2C．2D．227．（2023春·广东汕头·高三校联考阶段练习）（多选）设抛物线2:8Cxy的焦点为F，准线为00,,lPxy为C上一动点，2,1A，则下列结论正确的是（）A．当04x时，PF的值为4B．当02x时，抛物线C在点P处的切线方程为220xyC．PAPF的最小值为3D．PAPF的最大值为58．（2023·河北·校联考一模）（多选）抛物线26yx的焦点为F，P为抛物线上的动点，若点A不在抛物线上，且满足PAPF的最小值为92，则AF的值可以为（）A．92B．3C．32D．549．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F（2，0）作斜率为3的弦AB，其中点A在第一象限，则（）A．AOFBOFB．90AOBC．163ABD．3AFFB10．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）抛物线22(0)ypxp焦点为F，准线上有点(,23),2pMQ是抛物线上一点，MQF为等边三角形，则Q点坐标为．11．（2022秋·广东梅州·高三统考阶段练习）设抛物线C：220ypxp的焦点为F，点M在C上，5MF，若以MF为直径的圆过点0,2，则C的方程为.12．（2023春·广东广州）已知点M为拋物线22yx上的动点，点N为圆22(4)5xy上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.13．（2023·福建）已如3,3P，M是抛物线24yx上的动点（异于顶点），过M作圆22:24Cxy的切线，切点为A，则MAMP的最小值为.14．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知00,Pxy是抛物线24yx上一点，则0005213xxy的最小值为.15．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点2,4A在抛物线C：22ypx上，则A到焦点F的距离为．16．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点1,2A在抛物线C：22ypx上，则点A到抛物线C的准线的距离为．17．（2022秋·陕西渭南）设抛物线28yx的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为．18．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）过抛物线2:4Cxy的焦点F的直线l与C交于A、B两点，且4AFFB，O为坐标原点，则OAB的面积为.19．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线22xy上两点A，B关于点2,Mt对称，则直线AB的斜率为.20．（2023·陕西咸阳·统考二模）过抛物线214yx的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为45，则线段AB的中点到x轴的距离是．21．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）过抛物线C：24yx焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且3AFFB，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为.22．（2023·人大附中校考三模）已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，10AB，AB的中点横坐标为4，则p．23．（2023秋·课时练习）已知抛物线2ymx的焦点F为2,0，则m，若点P在抛物线上，点5,3A，则PAPF的最小值为.24．（2023·江苏）设点P是抛物线24yx上的一个动点.(1)求点P到1,1A的距离与点P到直线=1x的距离之和的最小值；(2)若3,2B，求PBPF的最小值.25．（2023·江苏）若位于y轴右侧的动点M到1,02F的距离比它到y轴的距离大12，点3,2A，求MAMF的最小值，并求出点M的坐标.26（2023秋·课时练习）当k为何值时，直线2ykxk与抛物线24yx有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？27．（2023秋·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程；(2)已知(1,2)A及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为1k，2k，且121kk，求证：直线BD经过定点．1．（2023·河南·模拟预测）P为抛物线2:20ypxp上任意一点，F为抛物线的焦点．如下图，4,2M，PFPM的最小值为5．若直线:lyx与抛物线交于点N，则OMN外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．10π2．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）（多选）已知O为坐标原点，抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F为(1,0)，过点(2,2)M的直线l交抛物线C于A，B两点，点P为抛物线C上的动点，则（）A．||||PMPF的最小值为3B．C的准线方程为=1xC．0OAOBD．当//PFl时，点P到直线l的距离的最大值为53．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）（多选）已知O为抛物线2:20Cypxp的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线2px作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B．若直线l过焦点F，则PFQFC．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D．若OMON，则直线l恒过点2,0p4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）已知抛物线C：24yx的焦点为F，过F的直线交抛物线于11,Axy、22,Bxy两点，8AB，直线AB左边的抛物线上存在一点00,Pxy，则（）A．121xxB．124yyC．若点1,3Q，则0QAQBD．当PAB的面积最大时，面积为425．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知抛物线2:2(0)Cypxp的准线方程为=1x，圆22:(1)1Exy，直线1ykx与C交于,AB两点，与E交于,MN两点(,AM在第一象限），O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A．1pB．OMONOAOBC．若4ABMN，则1kD．,kAMBN为定值6．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）（多选）已知抛物线C的标准方程为24yx，O为坐标原点，直线l为其准线，点A，B是C上的两个动点（不是原点O），线段AB与x轴交于点M，连接AO并延长交准线于点D，则（）A．若点M为C的焦点，则直线BD平行于x轴B．若点M为C的焦点，则线段AB的长度的最小值为4C．若OAOB，则点M为C的焦点D．若AOM与BOM的面积之积为定值，则点M为C的焦点7．（2023秋·河北唐山）已知抛物线2:4Cxy的焦点为F，直线l与抛物线C交于,AB两点，连接AF并延长，交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为1AB，则当AFB最大时，AD．8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点00,Pxy是抛物线24yx上的动点，则00021xxy的最小值为.9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知点F为抛物线2:20Cypxp的焦点，点2,1P，0,1Q，且PFQF.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若斜率存在的直线过点P且交抛物线C于M，N两点，若直线MF，NF交抛物线于A，B两点（M、N与A、B不重合），求证：直线AB过定点.10．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知抛物线C：22ypx焦点为1,0F，直线l与抛物线C交于11,Axy，22,Bxy两点，且120yy，12OAOB（O为坐标原点）．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线l过定点．11．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知抛物线21:2(0)Cxpyp和圆222:(1)2Cxy，倾斜角为45的直线1l过1C焦点，且1l与2C相切.(1)求抛物线1C的方程；(2)动点M在1C的准线上，动点A在1C上，若1C在点A处的切线2l交y轴于点B，设MNMAMB，证明点N在定直线上，并求该定直线的方程.12．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知22xpy0p的焦点为F，且经过F的直线被圆223192xy截得的线段长度的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)设坐标原点为O，若过点2,0作直线l与抛物线相交于不同的两点P，Q，过点P，Q作抛物线的切线分别与直线OQ，OP相交于点M，N，请问直线MN是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．13．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π6的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MNl，垂足为N，直线NF交x轴于点D，43.MD(1)求p的值.(2)若斜率不为0的直线1l与抛物线C相切，切点为G，平行于1l的直线交抛物线C于,PQ两点，且π2PGQ，点F到直线PQ与到直线1l的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.