6.1 等差数列（精讲）（学生版）

6.1等差数列（精讲）一．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．二．等差中项如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b．①a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b．②数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．③若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．三．等差数列的通项公式首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d；an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)四．等差数列的前n项和公式1.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）2d．2.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n⇌数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．3.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，若a10，d0，则满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，d0，则满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值Sm．一．等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．2.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个。二．等差数列的判定与证明的常用方法1.定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．2.等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．3.通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．4.前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔{an}为等差数列．三．在等差数列{an}中前n项和性质1.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；2.S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；3.S2n－1＝(2n－1)an．nnnn2n1n2n1n2n-12m1m2n1n(STabnS(2n1)aSa1S=(2)T(2m1)bTb特例n4.数列项数为奇数2n-1时、分别是等差数列、的前项和）（）(2n-1)a5.若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；S奇S偶＝anan＋1．6.若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；S奇S偶＝nn－1．四．求等差数列前n项和Sn及最值1，二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.2.图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．3.项的符号法(邻项变号法)：①当a10，d0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a10，d0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.五．数列的单调性当d0时，{an}是递增数列；当d0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．考法一等差数列基本量的计算【例1-1】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列na的前n项和为nS，131,18aS，则6S（）A．54B．71C．80D．81【例1-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知等差数列{}na的前n项和是376,1,3nSaSa，则3S（）A．1B．1C．3D．3【例1-3】（2023·全国·统考高考真题）记nS为等差数列na的前n项和．若264810,45aaaa，则5S（）A．25B．22C．20D．15【一隅三反】1．（2023·四川雅安·统考三模）已知数列na的前n项和为nS．若*111,2NnnnaSSan，则5S（）A．16B．25C．29D．322．（2023春·广东佛山）（多选）若na为等差数列，211a，55a，则下列说法正确的是（）A．152nanB．－11是数列na中的项C．数列na的前n项和212nSnnD．数列na的前7项和最大3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等差数列na为递减数列，且31a，2434aa，则下列结论中正确的有（）A．数列na的公差为12B．1522nanC．数列1naa是公差为1的等差数列D．1741aaa4．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）（多选）已知数列na的前n项和为nS，若数列na和nS均为等差数列，且518a，则（）A．16aB．830aC．560SD．798S考法二等差数列的判定与证明【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足1111,22nnaaa．证明：11na是等差数列，并求出数11na的通项公式．【例2-2】（2023·北京）已知数列na满足1144,41nnaana，记12nnba．求证：数列nb是等差数列．【一隅三反】1．（2023·安徽）若数列na为等差数列，则下列说法中错误的是（）A．数列12a，22a，32a，…，2na…为等差数列B．数列2a，4a，6a，…，2na，…为等差数列C．数列1nnaa为等差数列D．数列1nnaa为等差数列2．（2023·云南）已知等差数列na的前n项和为nS，若6812,72,aS(1)求数列na的通项公式.(2)证明:数列nSn为等差数列.3．（2023·广东）已知数列{na}满足112,12nnnaaaa．(1)求证：数列1na是等差数列；(2)求数列{na}的通项公式．4．（2023福建）已知数列na为等差数列，11a，3421a，前n项和为nS，数列nb满足nnSbn，求证：(1)数列nb为等差数列；(2)数列na中任意三项均不能构成等比数列.考法三等差数列的中项性质【例3-1】（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列{}na满足246πaaa，则17cosaa（）A．12B．12C．22D．32【例3-2】（2023·湖北）等差数列{}na中，若25811141aaaaa，则{}na的前15项和为（）A．1B．8C．15D．30【一隅三反】1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）设nS为等差数列na的前n项和，若21105S，则11a（）A．5B．6C．7D．82．（2023·重庆·校联考三模）已知na是等差数列，nb是等比数列，若2464πaaa，24633bbb，则1726tan1aabb（）A．3B．33C．33D．33．（2023·广东）设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，已知9353mSaaa，则m（）A．9B．8C．7D．64．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）用nS表示等差数列na的前n项和，若1233mmmaaa，21121mS，则m的值为______．考法四等差数列前n项和的性质【例4-1】（2023·海南）若两个等差数列na，nb的前n项和,nnAB满足71427nnAnnBnN，则1111ab（）A．141107B．43C．74D．7871【例4-2】（2023·云南）已知两个等差数列na和nb的前n项和分别为Sn和Tn，且nnST=2703nn，则76ab的值为（）A．487B．425C．849D．14【例4-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列na的前n项和为nS，3918,3SS，则6S（）A．9B．212C．12D．272【例4-4】（2023·全国·高三对口高考）设nS是等差数列na的前n项和，若3613SS，则612SS（）A．310B．13C．18D．19【例4-5】（2023·全国·高三专题练习）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，20192013620192013SS，则S2020等于（）A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040【一隅三反】1．（2023·山西）设等差数列na与等差数列nb的前n项和分别为nS，nT，若对任意自然数n都有2343nnSnTn，则935784aabbbb的值为（）A．37B．79C．1941D．12．（2023·山东）设等差数列na与等差数列nb的前n项和分别为nS，nT.若对于任意的正整数n都有2131nnSnTn，则89ab（）A．3552B．3150C．3148D．35463．（2023·河北）设等差数列na的前n项和为nS，若1020S，2010S，则30S（）A．0B．10C．30D．404．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，若23nnnSnT，则56ab（）A．925B．13C．921D．11255．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）等差数列na的前n项和为nS，若20212020120212020SS且13a，则()A．21nanB．1nanC．22nSnnD．24nSnn考法五等差数列的最值【例5-1】（2023·甘肃）设等差数列na的前n项和为nS，已知1890,,aaa是方程220230xx的两根，则能使0nS成立的n的最大值为（）A．15B．16C．17D．18【例5-2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列na的公差为d，共前n项和为nS，已知160S，170S，则下列结论不正确的是（）.A．10a，0dB．8S与9S均为nS的最大值C．890aaD．90a【一隅三反】1．（2023·内蒙古）已知等差数列na（Nn）的前n项和为nS，公差0d，1091aa，则使得0nS的最大整数n为（）A．9B．10C．17D．182．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}na是等差数列，若9120aa，10110aa，且数列{}na的前n项和nS有最大值，那么当0nS时，n的最大值为（）A．10B．11C．20D．213．（2023春·重庆·高三统考开学考试）设等差数列na的前n项和为nS，满足19160,aSS，则（）A．0dB．nS的最小值为25SC．130aD．满足0nS的最大自然数n的值为25考法六等差数列在实际生活中的应用【例6-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百年后在印度才首次出现，卷中记载“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：“现有一善于织布的女子，从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（30天）共织390尺布”，假如该女子1号开始织布，则这个月中旬（第11天到第20天）的织布量为（）A．26B．130C．4213D．156【例6-2】（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了