5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精练）（学生版）

5.5解三角形与其他知识的综合运用（精练）1．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2010年9月16日，曲靖市麒麟区寥廓山顶的靖宁宝塔竣工开放，成为曲靖当地的又一标志性建筑.某中学数学兴趣小组为了测量宝塔高度，在如图所示的点A处测得塔底位于其北偏东60°方向上的D点处，塔顶C的仰角为60°.在A的正东方向且距A点64m的点B处测得塔底在其北偏西45°方向上（A､B､D在同一水平面内），则靖宁宝塔的高度CD约为（）（参考数据：31.73）A．96.8mB．86.8mC．81.3mD．79.6m2．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量方案：在烈士纪念塔底座平面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为32，然后直线走了20m，抵达纪念塔底座平面B点位置测得纪念塔顶端的仰角为π3.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为π3，则该烈士纪念塔的高度约为（）A．30mB．45mC．60mD．75m3．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC100m，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A．49.25mB．50.76mC．56.74mD．58.60m4．（2023·四川·模拟预测）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知三个向量,cos2Ama，,cos,,cos22BCnbpc共线，则ABC的形状为（）A．等边三角形B．钝角三角形C．有一个角是6的直角三角形D．等腰直角三角形5．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若sinsin2ACabA，23SBACA，则ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形6．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，若2ABABACBABCCACB，则ABC是的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（2023·全国·高三专题练习）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，打算改建成矩形花圃ABCD，中间划分出直角三角形MPQ区域种玫瑰，直角顶点M在边AB上，且距离A点5m，距离B点6m，且P、Q两点分别在边BC和AD上，已知8mBC，则玫瑰园的最小面积为（）A．230mB．215mC．2302mD．2152m8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）（多选）在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得100mCDCE，75BAD，120AEC，200mAE，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（）A．200mADB．ADC△的面积为210003mC．1006mABD．点A在点C的北偏西30方向上9．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.10．（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得35mCD，135ADB，15BDCDCA，120ACB，则A、B两点的距离为___________m．11．（2023·湖南）在锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足212ACABbab.(1)求角C的大小；(2)求sinsinsinABC的取值范围.12．（2023·河北）设函数()fxmnurr，其中向量2cos,1mx，cos,3sin2nxxxR.(1)求()fx的最小值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知2fA，1b，△ABC的面积为32，求sinsinbcBC的值.13．（2023·北京）已知a、b、c分别为ABC的三个内角A、B、C的对边，设2,1mc，23,cosnabB，若//mnurr．（1）求角C；（2）若ABC是锐角三角形，求cossinAB的取值范围．14．（2023·西藏）已知sin,cosaxx，cos,3cosbxx，32fxab，其中0，若fx的最小正周期为.（1）求函数fx的单调递减区间；（2）锐角ABC中，2coscosacBbC，求fA的取值范围.15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知BC为O的直径，点A、F在O上，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AEBE．(1)求证：ABAF；(2)如果3sin5FBC，45AB，求AD的长．16．（2023·江苏·统考模拟预测）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，a，c成等比数列，且3cos()cos2BCA.(1)求B；(2)若4b，延长BC至D，使ABD△的面积为53，求sinADC.17．（2023·全国·高三专题练习）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空1003m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．18．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在ABC中，13ACD，为ABC的角平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若1502.ADCAD，(1)求DAC的面积;(2)若120ABC，求BD的长.19（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，1AB，3AD，2CD，2BC．(1)若BCCD，求sinADC；(2)记ABD△与BCD△的面积分别记为1S和2S，求2212SS的最大值．20.（2023·上海徐汇·统考一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以EF中点A为圆心,FG为半径的扇形草坪区ABC,点P在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设PAB.(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）21．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距62海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以32海里/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船22．（2023·上海·高三专题练习）某公园要建造如图所示的绿地OABC，OA、OC为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB与BC的总长度为12米，且BAOBCO．设BAO（02）．(1)当4AB，3时，求AC的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB时，求OABC面积S的最大值及此时的值．23．（2023·全国·高三专题练习）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB和DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切.(1)若437AD，337AB，37BD（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135，则BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？24．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，2,1,ABBCACD为等边三角形，设ABC.(1)求四边形ABCD面积的最大值，以及相应的值；(2)求四边形ABCD对角线BD长度的最大值，以及相应的值.25．（2023·上海）如图，在ABC中，2,62,,ABACEF分别是,BCAC的中点．从条件①4BAC；②10BF中选择一个作为已知条件，完成以下问题：(1)求ACB的余弦值；(2)若,AEBF相交于点G，求EGF的余弦值．（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）