重难点12圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法）（原卷版）

重难点12圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法）【目录】考法1：弦长问题考法2：面积问题一、圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2.二、三角形面积问题直线AB方程：ykxm0021kxymdPHk00002211122'2'1ABPkxymkxymSABdkAAk三、焦点三角形的面积直线AB过焦点21,FABF的面积为112121212'ABFcSFFyycyyA2222222222222224()11||S=||d22AOBabaAbBCCABABaAbBAB2222222222()CabaAbBCaAbB二、命题规律与备考策略注意：'A为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数四、平行四边形的面积直线AB为1ykxm，直线CD为2ykxm1221mmdCHk222222121212''11()41()41'''BCABkxxkxxxxkkAAA1212221''1ABCDmmmmSABdkAAk注意：'A为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.考法1：弦长问题1．（2023下·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知椭圆E：222210xyabab的离心率为22，且过点2,6P.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点2,1M且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.F2F1OyxBACDHOyxBA三、题型方法2．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.3．（2023·全国·模拟预测）已知点,0,0Pabab在抛物线2:20Cypxp上，记O为坐标原点，32OP，以P为圆心，OP为半径的圆与抛物线C的准线相切．(1)求抛物线C的方程；(2)记抛物线C的焦点为F，过点F作直线l与直线PF垂直，交抛物线C于A，B两点，求弦AB的长．4．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知抛物线2:2(0)Typxp，点F为其焦点，直线:4lx与抛物线交于,MN两点，O为坐标原点，86OMNSV．(1)求抛物线T的方程；(2)过x轴上一动点,0(0)Eaa作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点,AB和,CD，点,HK分别为,ABCD的中点，求HK的最小值．5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆22:143xyC的左顶点为A，右焦点为F，过点4,0T的直线l交C于M，N两点，其中M在第二象限．(1)若l过点0,1，求AMN的面积；(2)设线段MF交半径为1的圆F于点G，直线TG与AM交于点R，若直线AM，NR的斜率之比为23，求MG．6．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点31,2A.(1)若椭圆E的离心率10,2e，求b的取值范围；(2)已知椭圆E的离心率32e，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆222xyb相切，求线段MN的最大值.7．（2021·陕西西安·统考三模）已知点6,2M在椭圆C：22221xyab（0ab）上，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，点3,2P，ABP是以AB为底边的等腰三角形，求弦AB的长度.8．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆22122:10xyCabab与抛物线22:4Cyax的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且65PBa．(1)求椭圆1C的离心率．(2)若椭圆1C的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线2C相交于不同的两点M、N，且OMN的面积为24，求线段MN的长度．9．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为32，它的四个顶点构成的四边形的面积为4．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点,0Mm的直线l与圆221xy相切且与椭圆C交于A、B两点，求AB的最大值．10．（2023·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2．(1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程．(2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为,QQQxy（异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和58QQxy，求弦AB的长．11．（2022·上海青浦·统考二模）已知椭圆Γ：22143xy的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B两点.(1)若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；(2)若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求AOB面积的最大值；(3)若椭圆Γ上存在点C使得ACBC，且ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程.考法2：面积问题1.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆22:(2)16,2,0,ExyFT是圆E上任意一点，线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点Q，当点T运动时，点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0A的直线与曲线C相交于点24,33H，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与C相交于,MN两点，且ASM△的面积是HSN△面积的32倍，求直线l的方程．2.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知A是椭圆22:14xCy的左顶点，PQ、是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆C的焦距和离心率；(2)设0,,0,,1,0EtFsM，若MFME，且A、P、E和A、Q、F分别共线，求证：POQ、、三点共线；(3)若H是椭圆C上的点，且0OPOQOH，求PQH的面积．3.（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆2222:10xyCabab过点0,1N，且离心率为22.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l分别交椭圆C于A、B两点，若线段AB的中点M在直线12y上，求OAB面积的最大值.4.（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆22:(2)16,2,0,ExyFT是圆E上任意一点，线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点Q，当点T运动时，点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0A的直线与曲线C相交于点24,33H，与y轴相交于点S，过点S的另一条直线l与C相交于,MN两点，且ASM△的面积是HSN△面积的32倍，求直线l的方程．5.（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知A是椭圆22:14xCy的左顶点，PQ、是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆C的焦距和离心率；(2)设0,,0,,1,0EtFsM，若MFME，且A、P、E和A、Q、F分别共线，求证：POQ、、三点共线；(3)若H是椭圆C上的点，且0OPOQOH，求PQH的面积．6.（2023·全国·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，左、右焦点分别为1F，2F，焦距为4．点P在第一象限的双曲线上，过点P作双曲线切线与直线12x交于点Q．(1)证明：22PFQF；(2)已知斜率为2的直线l与双曲线左支交于,AB两点，若直线PA，PB的斜率互为相反数，求2PQF的面积．7.（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线yx垂直，A为垂足且位于第一象限，直线MB与直线yx垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形OAMB（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知5,3T是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线TP，TQ的斜率之和为1，tan1PTQ，求TPQ的面积.8.（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线221412xy右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为,PQyy，求PQyy的值；(2)记,PBCQAC△△的面积分别为12,SS，当115tan25AQB时，求12SS的取值范围．9.（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T：220ypxp和椭圆C：22142xy，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若pN，且MN恰好被AB平分，求OAB的面积．10（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线2:2Cypx的焦点为1,0F.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线l与抛物线C交于,AB两点，M为抛物线C上的点，且AMBM，MFAB，求ABM的面积.