专题8.8 几何法求线面角、二面角及距离(解析版)

8.8几何法求线面角、二面角及距离知识点总结利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错.知识点1：线与线的夹角（1）位置关系的分类：点一个平面内，没有公共异面直线：不同在任何相交直线平行直线共面直线（2）异面直线所成的角①定义：设ab，是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aabb∥，∥，把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．②范围：(0]2，③求法：平移法：将异面直线ab，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．知识点2：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：[0]2，③求法：常规法：过平面外一点B做BB平面，交平面于点'B；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．接下来在△RtABB中解三角形．即sin斜线长BBhBABAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；知识点3：二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB）（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0]，．（3）二面角的求法法一：定义法在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．法二：三垂线法在面或面内找一合适的点A，作AO于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的射影，ABO为二面角c的平面角．如图1，具体步骤：①找点做面的垂线；即过点A，作AO于O；②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO；③计算：ABO为二面角c的平面角，在RtABO△中解三角形．图1图2图3法三：射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（'''cos=ABCABCSSSS射斜，如图2）求出二面角的大小；法四：补棱法当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．baAOBbABCB'C'A'法五：垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．例如：过二面角内一点A作AB于B，作AC于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．知识点4：空间中的距离求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．典型例题分析考向一几何法求线面角例1(2023·杭州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是()A.35B.22C.32D.12答案C解析取BC的中点E，连接DE，AE，如图.依题意三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，则AE＝3，DE＝1，因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，所以AD＝AE2＋DE2＝3＋1＝2.因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，所以sin∠ADE＝AEAD＝32，所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是32.感悟提升求线面角的三个步骤：一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.训练1(2023·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P－ABCD底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为()A.143B.73C.156D.216答案D解析作PO⊥底面ABCD于O，连接OC，因为正四棱锥P－ABCD底面边长为2，故OC＝2，又侧棱长为4，故PO＝PC2－OC2＝14.又M为侧棱PC中点，取OC的中点F，连接MF，BM，则MF綉12PO，且MF⊥平面ABCD，故∠MBF是BM与平面ABC所成角，且MF＝12PO＝142.又cos∠BCM＝BC2PC＝14.在△BCM中，由余弦定理有BM＝BC2＋CM2－2BC·CMcos∠BCM＝6.在△BFM中，sin∠MBF＝MFBM＝1426＝216.故直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为216.考向二几何法求二面角例2如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝2，SA＝3，则二面角S－BC－A的大小为()A.30°B.45°C.60°D.75°答案C解析如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，∵△ABC，△SBC都是等边三角形，∴SB＝SC，AB＝AC，因此有AD⊥BC，SD⊥BC.∴∠ADS为侧面SBC与底面ABC所成的二面角的平面角.因为BC＝2，AD⊥BC，SD⊥BC，△SBC，△ABC都是等边三角形，所以SD＝SB2－BD2＝4－1＝3，AD＝AB2－BD2＝4－1＝3，而SA＝3，所以△SDA是正三角形，∴∠ADS＝60°，即二面角S－BC－A的大小为60°.感悟提升作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.训练2我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为()A.1B.2C.22D.2答案D解析由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件，可知∠C1MC即为二面角C1－AB－C的平面角，设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝22a，∴tan∠C1MC＝CC1CM＝2.考向三几何法求距离角度1点线距例3如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为()A.23B.25C.2D.4答案A解析如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝22PB＝22，在Rt△BCM中，CM＝BM2＋BC2＝8＋4＝23，故点C到直线PA的距离为23.角度2点面距例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A.1B.23C.43D.2答案B解析设点E到平面ACD1的距离为h，因为点E是棱AB的中点，所以点E到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，又平面ACD1过BD的中点，所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，由等体积法VD－ACD1＝VD1－ACD，所以13S△ACD1·2h＝13S△ACD·DD1，S△ACD＝12×2×4＝4，DD1＝2，在△ACD1中，AD1＝22，AC＝CD1＝25，所以S△ACD1＝12×22×（25）2－（2）2＝6，则13×6×2h＝13×4×2，解得h＝23，即点E到平面ACD1的距离为23.感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.基础题型训练一、单选题1．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA，1BB，1CC，1DD均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB与1CD所成角的余弦值为（）A．45B．35C．45D．34【答案】A【分析】根据异面直线的夹角运算求解.【详解】设11111,ABCDOABCDOII，分别延长11,DCDC到E，E1，使得111111,OEOCCDOEOCCD，连接1111,,,,EEOOBOEOBE，可得1AB//1BO，1EO//1CD，则异面直线1AB与1CD所成角1BOE（或其补角），则115,2BOEOBE，在1BEO中，由余弦定理可得222111115524cos25255BOEOBEBOEBOEO，即异面直线1AB与1CD所成角的余弦值为45.故选：A.2．一个正六棱锥，其侧面和底面的夹角大小为60，则该正六棱锥的高和底面边长之比为（）A．3:2B．3:1C．2:3D．1:3【答案】A【分析】如图正六棱锥PABCDEF中，取AB的中点M，则PMO为侧面和底面的夹角，根据POOM的值可求得POAB的值.【详解】如图正六棱锥PABCDEF中，底面中心为O，取AB的中点M，连接PMOM，，则ABPMABOM，，所以PMO为侧面和底面的夹角，即60PMOo因为PO底面ABCDEF，OM底面ABCDEF，所以POOM，所以tan603POOM，又32OMAB，所以332POAB，所以33322POAB.故选：A3．在正方体1111ABCDABCD中，O是11AC的中点，则异面直线AO与1BC的夹角为（）A．30B．45C．60D．90【答案】A【分析】先利用线线平行推得1DAO是异面直线AO与1BC的夹角，再利用勾股定理依次求得11,,ADDOAO，从而得解.【详解】连接11,ADDO，因为正方体1111ABCDABCD中，1111//,ABCDABCD，所以四边形11ABCD是平行四边形，则11//ADBC，所以1DAO是异面直线AO与1BC的夹角，不妨设正方体1111ABCDABCD的棱长为2，则122AD，12DO，22116AOAAAO，故22211ADDOAO，即1DOAO，则1090DAO，所以1111sin2DODAOAD，则130DAO??.故选：A.4．如图，在长方体1111ABCDABCD中，,ABBCCC121.则直线1AC与平面11BBCC所成角的余弦值是（）A．32B．12C．33D．13【答案】C【分析】根据线面角的定义，可知1ACB即为直线1AC与平面11BBCC所成角，解三角形即可求得结果.【详解】如图，连接直线1BC，显然，在长方体1111ABCDABCD中，AB平面11BBCC，故1ACB即为直线1AC与平面11BBCC所成角，在1RtACB中，2AB，22112CBBCCC，2222112(2)6ACABCB，11123cos36CBACBAC，故选：C.5．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，C