专题4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式（解析版）

4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式思维导图知识点总结1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠π2＋kπ，k∈Z.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀奇变偶不变，符号看象限[常用结论]1.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.典型例题分析考向一同角三角函数基本关系式的应用例1(1)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝________.答案0解析∵cosα＝－513＜0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角，则sinα＝1－cos2α＝1－－5132＝1213，∴tanα＝sinαcosα＝1213－513＝－125.此时13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×－125＝0.②若α是第三象限角，则sinα＝－1－cos2α＝－1－－5132＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝－1213－513＝125，此时，13sinα＋5tanα＝13×－1213＋5×125＝0.综上，13sinα＋5tanα＝0.(2)已知tanαtanα－1＝－1，则sinα－3cosαsinα＋cosα＝________；sin2α＋sinαcosα＋2＝________.答案－53135解析由已知得tanα＝12，所以sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＝122＋12122＋1＋2＝135.(3)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A.sinθ＝45B.cosθ＝－35C.tanθ＝－34D.sinθ－cosθ＝75答案ABD解析由题意知sinθ＋cosθ＝15，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425＜0，又∵θ∈(0，π)，∴π2＜θ＜π，∴sinθ－cosθ＞0，∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1－－2425＝4925＝75，∴sinθ＝45，cosθ＝－35.∴tanθ＝－43，∴A，B，D正确.感悟提升同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可实现角α的弦切互化.(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.考向二诱导公式的应用例2(1)(2023·长沙调研)已知sinπ3＋2α＝23，则cosπ6－2α＝()A.53B.－23C.23D.±53答案C解析∵sinπ3＋2α＝23，∴cosπ6－2α＝cosπ2－π3＋2α＝sinπ3＋2α＝23.故选C.(2)设f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.答案3解析因为f(α)＝（－2sinα）（－cosα）＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα（1＋2sinα）sinα（1＋2sinα）＝1tanα，所以f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.感悟提升1.诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数―――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数―――――――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数.2.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.考向三同角关系式和诱导公式的综合应用例3已知f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）.(1)化简f(α)；(2)若α＝－31π3，求f(α)的值；(3)若cos－α－π2＝15，α∈π，3π2，求f(α)的值.解(1)f(α)＝sin（α－3π）cos（2π－α）sin－α＋3π2cos（－π－α）sin（－π－α）＝－sinα×cosα×（－cosα）－cosα×sinα＝－cosα.(2)若α＝－31π3，则f(α)＝－cos－31π3＝－cosπ3＝－12.(3)由cos－α－π2＝15，可得sinα＝－15，因为α∈π，3π2，所以cosα＝－265，所以f(α)＝－cosα＝265.感悟提升1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数符号的影响.基础题型训练一、单选题1．下列等式恒成立的是（）A．cos()cosB．sin360sinC．tan(2)tan()D．cos()cos()【答案】D【分析】根据三角函数诱导公式逐项判断.【详解】cos()cos；sin360sin；tan(2)tantan()；cos()coscos().故选：D【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.2．下列命题中，命题正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．第一象限的角是锐角C．若2Zkk，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值D．半径为R，n的圆心角所对的弧长为Rn【答案】C【分析】根据角的概念的推广、弧度的定义和三角函数的定义，结合代特值即可得到答案.【详解】根据三角函数的定义，易知C正确，对A，7,33终边相同，故A错误；对B，73在第一象限，但不是锐角，故B错误；对D，弧长应该为弧度乘以半径，故D错误.故选：C.3．已知tan2，则sincos（）A．25B．52C．52D．25【答案】D【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sincos的值.【详解】因为tan2，则222sincostan2sincossincostan15.故选：D.4．sin120的值为（）A．32B．32C．12D．12【答案】A【分析】根据诱导公式化简，利用三角函数特殊值即可得答案.【详解】3sin120sin120sin18060sin602.故选：A.5．已知10角的终边交单位圆于点A，将A绕原点O顺时针旋转110至B，则B的坐标为（）A．sin10,cos10B．cos10,sin10C．sin10,cos10D．cos10,sin10【答案】C【分析】作出简图，由三角函数定义及诱导公式计算即可.【详解】如图所示，易知B为-100°与单位圆的交点，由三角函数的定义可知cos100,sin100B，由诱导公式化简可得sin10,cos10B.故选：C6．如果1sincos5xx，且0πx，那么tanx的值是()A．43B．43或34C．34D．43或34【答案】A【详解】将所给等式两边平方，得12sincos25xx，∵0πx，sin,cos0xxs，249(sincos)12sincos25xxxx，9sincos5xx，∴434sin,costan553xxx＝，.故选A.二、多选题7．πcos4（）A．5πsin4B．πsin4C．3πcos4D．7πcos4【答案】BD【分析】利用诱导公式确定正确答案.【详解】5πππsin()sin[π()]sin()444，A错误；ππππsin()sin[()]cos()4244，B正确；3πππcoscosπcos444，C错误；7πππcoscos2πcos444，D正确.故选：BD8．（多选）若，的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是（）A．sinsinB．coscosC．coscosD．sinsin【答案】AB【分析】利用对称性，求出，间的关系π2π,Zkk，再利用诱导公式，即可得到sin与sin，cos与cos间的关系，从而得出结果.【详解】因为，的终边关于y轴对称，所以π2π,Zkk，所以根据诱导公式可知，sinsin(π2π)sin(π)sink，coscos(π2π)cos(π)cosk，所以选项AB正确，选项CD错误.故选：AB.三、填空题9．已知3cos22，且||2，则tan_________.【答案】3【分析】根据诱导公式可得3sin2，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】333cos,sin,sin2222Q1sin||,cos,tan322cosQ故答案为：3【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.10．已知34sin225，，，则tan___________.【答案】43【分析】由sin0可得(,)2，即cos0，由同角三角函数的平方关系和商数关系，即得解【详解】由题意，34sin225，，sin0(,)2cos023cos1sin5sin4tancos3故答案为：4311．已知3sin()cos()24sin()cos(9)，则tan_________.【答案】15【分析】利用诱导公式对方程进行化简，再解关于tan的方程即可.【详解】原式3sincos3tan124sincos4tan1，解得：tan15.故答案为：15.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，对xR都有(1)(1)fxfx成立，当(0,1]x且12xx时，有2121()()0fxfxxx．给出下列命题：（1）(1)0f（2）()fx在[-2，2]上有5个零点（3）点