重难点07 三角函数的图象与性质的综合应用【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

重难点07三角函数的图象与性质的综合应用【八大题型】【新高考专用】【题型1三角函数的图象识别与应用】...............................................................................................................3【题型2三角函数图象变换问题】.......................................................................................................................5【题型3三角函数的值域与最值问题】...............................................................................................................9【题型4含三角函数的二次函数模型】.............................................................................................................12【题型5含绝对值的三角函数模型】.................................................................................................................16【题型6ω的取值与最值（范围）问题】..........................................................................................................19【题型7三角函数的综合性质的研究】.............................................................................................................22【题型8三角恒等变换与三角函数综合】..........................................................................................................28三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要从以下几个方面进行考查：一、三角函数的图象，涉及三角函数图象变换问题以及由部分图象确定函数解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查，试题难度较低；二、利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调区间、含参问题等，主要以解答题的形式考查，中等难度.三、三角恒等变换的化简求值是高考命题的热点，常与三角函数的图象与性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多以选择题、填空题的形式考查，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合来研究最值、范围问题，多以解答题形式考察，此时要灵活求解，试题中等难度．【知识点1三角函数的图象变换规律】1.平移变换与伸缩变换法则(1)平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换；(2)伸缩变换①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(01)或缩短(1)为原来的1（倍）（纵坐标y不变）；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(1)A或缩短(01)A为原来的A（倍）（横坐标x不变）．2.三角函数的图象变换问题的求解方法解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法.【知识点2三角函数的单调性问题的求解策略】1.三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【知识点3三角函数的值域与最值问题的求解策略】1.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).2.求三角函数最值的基本思路(1)将问题化为sin()yAxB的形式，结合三角函数的图象和性质求解.(2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.(3)利用导数判断单调性从而求解.【知识点4三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】1.三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3.三角函数的奇偶性的判断方法三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).【知识点5含绝对值的三角函数模型】关于sinyx和sinyx，如图，sinyx将sinyx图像中x轴上方部分保留，x轴下方部分沿着x轴翻上去后得到，故sinyx是最小正周期为的函数，同理sin()yAx是最小正周期为的函数；sinyx是将sinyx图像中y轴右边的部分留下，左边的删除，再将y轴右边图像作对称至左边，故sinyx不是周期函数.我们可以这样来表示：，，sin([22])sinsin((22))xxkkxxxkk，sin(0)sinsin(0)xxxxx.【题型1三角函数的图象识别与应用】【例1】（2023·四川·校联考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=cos(e𝑥−e−𝑥−𝑥)在[−2,2]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=cos(e𝑥−e−𝑥−𝑥)，𝑥∈[−2,2]，则𝑓(−𝑥)=cos(e−𝑥−e𝑥+𝑥)=𝑓(𝑥)=cos(e𝑥−e−𝑥−𝑥)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为偶函数，函数图象关于𝑦轴对称，故排除C、D；又𝑓(2)=cos(e2−e−2−2)，由于3π2e2−e−2−22π，所以𝑓(2)0，故排除B；故选：A.【变式1-1】（2023·全国·校联考模拟预测）以下哪个选项是𝑦=sin𝑥2+sin𝑥的图像（）A．B．C．D．【解题思路】先得到函数的奇偶性，再代入特殊值，选出正确答案.【解答过程】AB选项，𝑓(𝑥)=sin𝑥2+sin𝑥的定义域为R，且𝑓(−𝑥)=sin(−𝑥)2+sin(−𝑥)=sin𝑥2−sin𝑥，则𝑓(−𝑥)≠𝑓(𝑥)且𝑓(−𝑥)≠−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)=sin𝑥2+sin𝑥为非奇非偶函数，故AB错误；CD选项，当𝑥∈(0,π4)时，𝑓(𝑥)=sin𝑥2+sin𝑥0，则D错误，C正确.故选：C.【变式1-2】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)部分图象如图所示，则函数𝑓(𝑥)的解析式可能为（）A．𝑓(𝑥)=𝑥sin2𝑥B．𝑓(𝑥)=𝑥sin𝑥C．𝑓(𝑥)=2|𝑥|sin𝑥D．𝑓(𝑥)=2|𝑥|sin2𝑥【解题思路】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．【解答过程】由图像知𝑓(𝑥)=0，𝑥∈[0,π]有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足𝑓(−𝑥)=−𝑥sin(−2𝑥)=𝑥sin2𝑥=𝑓(𝑥)为偶函数，D中函数满足𝑓(−𝑥)=2|−𝑥|sin(−2𝑥)=−2|𝑥|sin2𝑥=−𝑓(𝑥)为奇函数，而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．故选：D．【变式1-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．𝑓(𝑥)=|sin𝑥|+|cos𝑥|−2sin2𝑥B．𝑓(𝑥)=|sin𝑥|−|cos𝑥|+2sin2𝑥C．𝑓(𝑥)=|sin𝑥|−|cos𝑥|+2cos2𝑥D．𝑓(𝑥)=|sin𝑥|+|cos𝑥|+2cos2𝑥【解题思路】在各选项的函数中取特殊值计算，并与已知图像比较，采用排除法即可做出判定.【解答过程】由题可知，图像过点(0,1)，取𝑥=0，对于A：𝑓(0)=|sin0|+|cos0|−2sin0=0+1−0=1；对于B：𝑓(0)=|sin0|−|cos0|+2sin0=0−1+0=−1；对于C：𝑓(0)=|sin0|−|cos0|+2cos0=0−1+2=1；对于D：𝑓(0)=|sin0|+|cos0|+2cos0=3；故可排除B、D，又由图像可知，当𝑥=𝜋2时，𝑓(𝑥)0，取𝑥=𝜋2，对于A：𝑓(𝜋2)=|sin𝜋2|+|cos𝜋2|−2sin2·𝜋2=1+0−0=10；对于C：𝑓(𝜋2)=|sin𝜋2|−|cos𝜋2|+2cos2·𝜋2=1−0−2=−10；可排除C，故选：A.【题型2三角函数图象变换问题】【例2】（2023·四川·校联考模拟预测）函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)（其中𝐴0,𝜔0,|𝜑|π2）的图象如图所示，为了得到𝑔(𝑥)=cos2𝑥的图象，则只需将𝑓(𝑥)的图象（）A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度【解题思路】根据给定的函数图象，求出𝑓(𝑥)的解析式，再逐项判断即得.【解答过程】由图知，𝐴=1，函数𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=4(7π12−π3)=π，于是𝜔=2π𝑇=2，即𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)，显然𝑓(7π12)=−1，即2×7π12+𝜑=3π2+2𝑘π,𝑘∈Z，而|𝜑|𝜋2，则𝑘=0,𝜑=π3，因此𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)，对于A，将𝑓(𝑥)的图象向右平移π6个单位长度，得𝑦=sin[2(𝑥−π6)+π3]=sin2𝑥，此函数图象与𝑦=𝑔(𝑥)图象不重合，A错误；对于B，将𝑓(𝑥)的图象向右平移π1