重难点04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）

重难点04指、对、幂数比较大小问题【七大题型】【新高考专用】【题型1利用单调性比较大小】...........................................................................................................................2【题型2中间值法比较大小】...............................................................................................................................4【题型3作差法、作商法比较大小】...................................................................................................................5【题型4构造函数法比较大小】...........................................................................................................................7【题型5数形结合比较大小】...............................................................................................................................8【题型6含变量问题比较大小】.........................................................................................................................12【题型7放缩法比较大小】.................................................................................................................................15从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1xa和2xa，利用指数函数xya的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax和2ax，利用幂函数ayx单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1logax和2logax，利用指数函数logax单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用单调性比较大小】【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知𝑎=0.91.1,𝑏=log1213,𝑐=log132，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑎𝑐𝑏C．𝑐𝑎𝑏D．𝑏𝑎𝑐【解题思路】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断𝑏,𝑐的范围，即可得答案.【解答过程】因为𝑦=0.9𝑥为R上的单调减函数，𝑦=log2𝑥,𝑦=log3𝑥为(0,+∞)上的单调增函数，故00.91.10.90=1,log1213=log231,log132=−log320，所以𝑏𝑎𝑐,故选:D.【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知𝑎=(25)25,𝑏=(35)25,𝑐=log252，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑐𝑏𝑎D．𝑐𝑎𝑏【解题思路】由𝑦=𝑥25在(0,+∞)上递增比较a，b，再由𝑦=log25𝑥在(0,+∞)上递减，得到𝑐0比较即可.【解答过程】因为𝑦=𝑥25在(0,+∞)上递增，且2535，所以(25)25(35)25，即0𝑎𝑏，又𝑦=log25𝑥在(0,+∞)上递减，所以𝑐=log252log251=0，所以𝑐𝑎𝑏.故选：D.【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知𝑎=323，𝑏=234，𝑐=413，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑐𝑎C．𝑏𝑎𝑐D．𝑐𝑏𝑎【解题思路】根据指数函数，幂函数的性质即可判断𝑏𝑎，𝑐𝑎，再对𝑏，𝑐进行取对数，结合对数函数的性质即可判断𝑐𝑏，进而即可得到答案．【解答过程】由𝑎=323=913，𝑏=234=814，𝑐=413，则𝑏=814813913𝑎，𝑐𝑎，又log2𝑏=log2814=34，log2𝑐=log2413=23，则log2𝑐log2𝑏，即𝑐𝑏，所以𝑐𝑏𝑎．故选：D．【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知𝑎=ln𝜋,𝑏=log3𝜋,𝑐=√𝜋ln2，则𝑎,𝑏,𝑐的大小关系是（）A．𝑏𝑎𝑐B．𝑎𝑏𝑐C．𝑐𝑏𝑎D．bca【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e3𝜋，∴𝑎=loge𝜋log3𝜋=𝑏log33=1，即𝑎𝑏1，∵𝑎=ln𝜋=ln(√𝜋)2,  𝑐=√𝜋ln2=ln2√𝜋，下面比较(√𝜋)2与 2√𝜋的大小，构造函数𝑦=𝑥2与𝑦=2𝑥，由指数函数𝑦=2𝑥与幂函数𝑦=𝑥2的图像与单调性可知，当𝑥∈(0,2)时，𝑥22𝑥；当𝑥∈(2,4)时，𝑥22𝑥由𝑥=√𝜋∈(0,2)，故(√𝜋)2 2√𝜋，故ln𝜋ln2√𝜋，即𝑎  𝑐，所以𝑏𝑎𝑐，故选：A.【题型2中间值法比较大小】【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知𝑎=6log23.4，𝑏=6log43.6，𝑐=(16)log30.3，则（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑐𝑏D．𝑐𝑎𝑏【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出𝑎、𝑏、𝑐的大小关系.【解答过程】因为log23.4log22=1=log44log43.6，log30.3−1=log3103log33=1，又因为log23.4log22√2=32=log3332=log33√3log3103=−log30.3，所以，log23.4−log30.3log43.6，所以，6log23.46−log30.3=(16)log30.36log43.6，即𝑎𝑐𝑏.故选：C.【变式2-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）已知𝑎=2−log23，𝑏=2−log34，𝑐=log23+log34，则（）A．𝑐𝑎𝑏B．𝑏𝑎𝑐C．𝑎𝑏𝑐D．𝑐𝑏𝑎【解题思路】利用对数的性质求得log2332、1log3432，即可判断大小关系.【解答过程】由log23=log2(2×32)=1+log2321+log2√2=32，由log34=log3(3×43)=1+log3431+log3√3=32，则1log3432，所以𝑎=2−log2312𝑏=2−log34152𝑐=log23+log34，即𝑎𝑏𝑐.故选：C.【变式2-2】（2023上·河南开封·高一校考阶段练习）已知𝑎=log132023,𝑏=log20232024,𝑐=2023−2024，则a，b，c的大小关系是（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑐𝑎C．𝑏𝑎𝑐D．𝑐𝑎𝑏【解题思路】利用函数单调性和中间值比较出大小.【解答过程】𝑎=log1320230,𝑏=log20232024log20232023=1,𝑐=2023−2024∈(0,1)，故𝑏𝑐𝑎.故选：B.【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知𝑎=1.11.2,𝑏=1.21.3,𝑐=1.31.1，则（）A．𝑐𝑏𝑎B．𝑎𝑏𝑐C．𝑐𝑎𝑏D．𝑎𝑐𝑏【解题思路】利用中间值1.21.2比较a,b的大小，再让b，c与中间值1.31比较，判断b,c的大小，即可得解.【解答过程】𝑎=1.11.21.21.21.21.3=𝑏，又因为通过计算知1.241.33，所以(1.24)0.3(1.33)0.3，即1.21.21.30.9，又1.20.11.30.1，所以1.21.31.311.31.1=𝑐，所以𝑎𝑏𝑐.故选：B.【题型3作差法、作商法比较大小】【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知𝑥=log32，𝑦=log43，𝑧=(34)23，则𝑥、𝑦、𝑧的大小关系为（）A．𝑥𝑦𝑧B．𝑦𝑥𝑧C．𝑧𝑦𝑥D．𝑦𝑧𝑥【解题思路】利用作差法结合基本不等式可得出𝑥、𝑦的大小关系，利用中间值45结合指数函数、对数函数的单调性可得出𝑦、𝑧的大小关系，综合可得出𝑥、𝑦、𝑧的大小关系.【解答过程】因为35=243256=44，所以，3445，则𝑦=log43log4445=45，因为(34)2−(45)3=916−64125=9×125−16×6416×125=1125−102416×1250，所以，(34)2(45)3，则𝑧=(34)2345，所以𝑧𝑦因为𝑦−𝑥=log43−log32=ln3ln4−ln2ln3=(ln3)2−ln2ln4ln3ln4(ln3)2−(ln2+ln42)2ln3ln4=(ln3)2−(ln√8)2ln3ln40，即𝑦𝑥，因此，𝑧𝑦𝑥.故选：C.【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知𝑎=log169,𝑏=log2516,𝑐=e−2，则（）A．𝑏𝑎𝑐B．𝑏𝑐𝑎C．𝑐𝑏𝑎D．𝑐𝑎𝑏【解题思路】𝑎=log43，𝑏=log54，作商𝑎𝑏=log43log54=log43⋅log45，利用基本不等式可得𝑎𝑏1，得𝑎𝑏，根据对数函数的单调性可得𝑎𝑐.【解答过程】𝑎=log169=log4232=log430，𝑏=log2516=log5242=log540，𝑎𝑏=log43log54=log43⋅log45(log43+log452)2=