专题01 利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练) (解析版）

专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍......................................................1二、典型题型......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................4题型三：已知切线斜率求参数......................................6题型四：确定过一点可以做切线条数................................8题型五：已知切线条数求参数.....................................10题型六：距离问题转化为相切问题.................................13题型七：公切线问题.............................................14三、专项训练.....................................................18一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()yfx在点0xx处的导数的几何意义，就是曲线()yfx在点00(,)Pxy处的切线的斜率k，即0()kfx.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(xf的解析式.计算：函数)(xf在0xx或者))(,(00xfx处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0xf（方法：把0xx代入原函数)(xf中），切点))(,(00xfx.第二步：计算切线斜率'()kfx.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00xfx，切线斜率)('0xfk。根据直线的点斜式方程得到切线方程：))((')(000xxxfxfy.（2）过型求切线方程已知：函数)(xf的解析式.计算：过点111(,)Pxy（无论该点是否在()yfx上）的切线方程.步骤：第一步：设切点000(,)Pxy第二步：计算切线斜率0'()kfx；计算切线斜率1010yykxx；第三步：令：10010()yykfxxx，解出0x，代入0'()kfx求斜率第四步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：000'()()yyfxxx.3、已知)(xf，过点(,)ab，可作曲线的n（1,2,3n）条切线问题第一步：设切点000(,)Pxy第二步：计算切线斜率0'()kfx；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：000'()()yyfxxx.第四步：将(,)ab代入切线方程，得：000'()()byfxax，整理成关于0x得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于0x的方程就有几个实数解；4、已知)(xf和()gx存在n（1,2,3n）条公切线问题第一步设)(xf的切点11(,())Axfx设()gx的切点22(,())Bxgx求公切线的斜率1()kfx2()kgx写出并整理切线111()'()()yfxfxxx整理得：1111'()()()yfxxfxxfx222()'()()ygxgxxx整理得：2222'()()()ygxxgxxgx联立已知条件12111222()()()()()()fxgxfxxfxgxxgx消去1x得到关于2x的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去2x得到关于1x的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；二、典型题型题型一：在型求切线方程1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）已知曲线1elnxyxx在1x处的切线与直线20xmy垂直，则实数m.【答案】-2【详解】因为1elnxyxx，定义域为0,，所以1eln1xyx，所以曲线1elnxyxx在1x处的切线斜率为12xy，因为曲线1elnxyxx在1x处的切线与直线20mxy垂直，所以0m不符合题意，所以直线20xmy的斜率为1m，所以1(2)1m，所以2m.故答案为：2.2．（2023上·山东德州·高三统考期中）函数212ln12fxxxx在1,1f处的切线方程为．（结果写成一般式）【答案】4250xy【详解】因为212ln12fxxxx，所以1111122f，因为21fxxx，所以11212f，所以在1,1f处的切线方程为1212yx，整理得4250xy，故答案为：4250xy.3．（2023上·上海闵行·高三校考期中）曲线23fxx在点1,1f处的切线方程为．【答案】63yx【详解】∵23fxx，∴13f，则点1,1f即为1,3.∵6fxx，∴切线斜率为16kf，∴切线方程为361yx，即63yx.故答案为：63yx.4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数ln1fxxax（其中aR）在1x处的切线为l，则直线l过定点的坐标为.【答案】0,0【详解】根据题意：函数ln1fxxax在1x处有切线，切点为1,1a，又1fxax，故切线斜率为1a，直线l的方程为1111yaaxyax，该直线过定点的坐标为0,0.故答案为：0,05．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线exfxx在点0,0f处的切线与曲线ln1yxa相切，则a.【答案】42ln/24ln【详解】因为exfxx的导数为()1exfx¢=+，则01,02ff，所以曲线fx在0,0f处的切线方程为12yx，即21yx，又切线21yx与曲线ln1yxa相切，设切点为00,xy，因为11yx，所以切线斜率为0121kx，解得032x，所以00214yx，则34ln12a，解得4ln2a.故答案为；4ln2.题型二：过型求切线方程1．（2022·四川广安·广安二中校考二模）函数2exfxx过点0,0的切线方程为（）A．0yB．e0xyC．0y或e0xyD．0y或e0xy【答案】C【详解】由题设2()(2)exfxxx，若切点为2(,e)mmm，则2()(2)emfmmm，所以切线方程为22(2))ee(mmymmmxm，又切线过0,0，则22(2e)emmmmm，可得0m或1m，当0m时，切线为0y；当1m时，切线为e1(1)yx，整理得e0xy.故选：C2．（2022下·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知函数3221fxxxx，则曲线yfx过坐标原点的切线方程为（）A．yxB．2yxC．3yxD．4yx【答案】C【详解】设切点为32,21tttt，2322fxxx，则切线斜率为2322fttt，所以，所求切线方程为32221322ytttttxt，将原点坐标代入所求切线方程可得32210tt，即21210ttt，解得1t，因此，所求切线方程为3yx.故选：C.3．（2023·全国·模拟预测）过原点与曲线2ln,2,1,2xxfxxx相切的一条切线的方程为.【答案】2yx或2yx或1eyx(写出其中一条即可)【详解】解：设曲线21,2yxx表示抛物线的一部分，设其切线方程为ykx，代入21yx，得210xkx.由240k，得2k.当2k时，1x，符合题意，当2k时，=1x，均符合题意，所以切线方程2yx.设ln,2fxxx的切线的切点为00,Pxy.由1fxx，得001fxx，000ln,2yxx，得切线方程为01yxx.将00,Pxy的坐标代入切线方程，得01y，所以0ex，所以切线方程为1eyx.故答案为：2yx或2yx或1eyx(写出其中一条即可)4．（2023下·甘肃天水·高二秦安县第一中学校考期中）曲线41yx在点P处切线的斜率为4，过点P的切线方程.【答案】420xy【详解】设4,1Ptt34yx，344t，解得：1t，1,2P；当P是切点时，切线方程为：241yx，即420xy；当P不是切点时，设切点坐标为400,1xx，则在点400,1xx处的切线方程为：3400041yxxxx，代入点1,2P得：3443000002411341xxxxx，434333200000000003413313111xxxxxxxxxx3232200000000013113321xxxxxxxxx2220000000013121113210xxxxxxxx，解得：01x，切点为1,2，与P重合，不合题意；综上所述：切线方程为420xy.故答案为：420xy.5．（2023下·四川绵阳·高二期末）过点1,4P作曲线21yx=-的切线，则切线方程为．【答案】260xy【详解】因为点1,4P不在曲线上，设切点,Mmn，且1m，则21nm=-，①又()221yx-¢=-，则切线斜率为()22411nkmm--==--，②由①②解得2n，2m，所以2,2M，切线的斜率为()22221k-==--，切线方程为222yx，即260xy.故答案为：260xy.题型三：已知切线斜率求参数1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若直线20xya与曲线2lnyxx相切，则实数a的值为（）A．1B．0C．3D．2【答案】A【详解】2lnyxx，则21yx，设直线l与曲线2lnyxx的切点00Pxy（,），则直线l的斜率002|1xxkyx，由于直线0xya斜率为1，则0211x，解得01x，所以012ln11y，即切点为1,1，故1120a，解得1a．故选：A.2．（2023上·贵州六盘水·高三校联考阶段练习）已知直线1yax与曲线lnyxx相切，则a（）A．1B．2C．eD．2e【答案】B【详解】设切点为,lnttt，1ln1xxx，故斜率为11t，则切线方程为1ln1yttxtt，整理得111lnyxtt，所以1111lnatt，解得12ta.故选：B3．（2023上·辽宁·高三校考阶段练习）函数2()fxaxbx（0a、0b）在点(1,(1))f处的切线斜率为1，则8abab的最小值为（）A．10B．92C．18D．102【答案】C【详解】()fx的定义域为R，()2fxaxb，又()fx在点(1,(1))f处的切线斜率为1，∴121fab，∴88181161628210218abababababbababa