第二章 一元二次函数、方程和不等式（综合检测）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方

第二章一元二次函数、方程和不等式综合检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合01xMxx，1,02xNyyx，则MN（）A．0,1B．0C．0,1D．0,1【答案】C【分析】先解分式不等式得01Mxx，再求函数1,02xyx的值域得01Nyy，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式01xx得01x，故0011xMxxxx，再求函数1,02xyx的值域得01y，故1,0012xNyyxyy.所以MN0,1.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题.2．设xR，则“50xx”是“11x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式11x、50xx，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由50xx可得05x，由11x可得111x，解得02x，因此“50xx”是“11x”的必要不充分条件.故选：B.3．若关于x的不等式2420xxa有解，则实数a的取值范围是（）A．2aaB．2aaC．6aaD．6aa【答案】C【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【详解】若关于x的不等式2420xxa有解,则16420a，解得6a.故选：C.4．已知22abk，若224911ab恒成立，则k的最大值为（）A．4B．5C．24D．25【答案】C【分析】由2211abk，利用基本不等式整理得22492511abk，根据恒成立问题可得2511k，运算求解即可得答案.【详解】∵22abk，所以2211abk，∴2222222222222241414949991132132511111bbaakababababab，当且仅当22224191baab，即22632115abk时等号成立，即22492511abk，由题意可得：2511k，又0k，解得024k，故k的最大值为24.故选：C.5．设圆柱的体积为V，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（）A．3232πVB．32π3VC．32πVD．34πV【答案】D【分析】根据圆柱体积公式，把圆柱底面半径为r用圆柱体积和母线长表示出来，由公式计算圆柱表面积，利用基本不等式求表面积的最小值，由等号成立的条件求此时圆柱的母线长.【详解】设圆柱底面半径为r，母线长为l，有2πVrl，则πVrl，圆柱表面积2222π2π2π2ππVVVSrlrllVlll32322ππ3ππ32πVVlVlVlVlVVll，当且仅当2πVlVl，即34πVl时等号成立.所以圆柱表面积最小时，圆柱的母线长为34πV.故选：D6．已知3log2x，4log3y，2334z，则x、y、z的大小关系为（）A．xyzB．yxzC．zyxD．yzx【答案】C【分析】利用作差法结合基本不等式可得出x、y的大小关系，利用中间值45结合指数函数、对数函数的单调性可得出y、z的大小关系，综合可得出x、y、z的大小关系.【详解】因为5432432564，所以，4534，则45444log3log45y，因为23349649125166411251024045161251612516125，所以，233445，则234534z，所以zy因为22243ln2ln4ln3ln3ln2ln4ln3ln22log3log2ln4ln3ln3ln4ln3ln4yx22ln3ln80ln3ln4，即yx，因此，zyx.故选：C.7．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cBab，若ABC的面积312Sc，则ab的最小值为（）A．13B．3C．12D．16【答案】A【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，化简计算，可求得角C，根据面积公式及题干条件，计算可得3cab，利用余弦定理及基本不等式，即可得答案.【详解】因为2cos2cBab，由正弦定理边化角可得2sincos2sinsinCBAB，又sinsin[()]sin()sincoscossinABCBCBCBC，所以2sincos2sincos2cossinsinCBBCBCB，所以2sincossin0BCB，因为(0,)B，sin0B，所以1cos2C，又(0,)C，所以23C.又ABC的面积313sin1224ScabCab所以3cab，由余弦定理得222222coscababCabab，所以2222923abababababab，当且仅当ab时取等号，所以13ab，则ab的最小值为13.故选：A8．已知抛物线2:2(0)Cypxp，过坐标原点O作两条相互垂直的直线分别与抛物线C相交于1122,,,MxyNxy两点（M，N均与点O不重合）．若直线MN恒过点(8,0)，则122xx的最小值为（）A．162B．122C．102D．62【答案】A【分析】设221212,,,22yyMyNypp，设直线MN方程为xmyn，联立抛物线C的方程得韦达定理，再根据OMON结合平面向量和韦达定理得到4p，最后利用基本不等式求解.【详解】设221212,,,22yyMyNypp，设直线MN方程为xmyn，联立抛物线C的方程得2220ypmypn，所以12122,2yypmyypn．又OMON，所以2222121212122,,0224yyyyOMONyyyyppp，所以2124yyp，所以242ppn，所以2np，所以直线MN的方程为2xmyp，所以直线MN过定点(2,0)Pp，故28p，即4p，所以1264yy．由抛物线的方程可得212126464yyxx，所以12122222264162xxxx，当且仅当12282xx时取等号．故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a，b，cR，下列叙述正确的是（）A．若ab，0c，则acbcB．若0ab，则11abC．若01a，则2aaD．221222abab【答案】AD【分析】根据不等式性质可以判断A正确；不等式ab两边同乘1ab，判断B错误；当01a时，2aa，故C错误；D项可以转化为22120ab，故D正确.【详解】对于A，根据不等式性质，若ab，0c，则acbc，故A正确；对于B，若0ab，则10ab，不等式ab两边同乘1ab，则11ab，故B错误；对于C，当01a时，2aa，故C错误；对于D，221222abab等价于22120ab，成立，故D正确.故选：AD.10．已知幂函数fx的图象经过点()4,2，则下列命题正确的有（）．A．函数fx的定义域为RB．函数fx为非奇非偶函数C．过点10,2P且与fx图象相切的直线方程为1122yxD．若210xx，则121222fxfxxxf【答案】BC【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点P求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.【详解】设fxx，将点()4,2代入fxx，得24，则12，即12()fxx，对于A：fx的定义域为0,，即选项A错误；对于B：因为fx的定义域为0,，所以fx不具有奇偶性，即选项B正确；对于C：因为12()fxx，所以12fxx，设切点坐标为00,xx，则切线斜率为0012kfxx，切线方程为0001()2yxxxx，又因为切线过点1(0,)2P，所以00011(0)22xxx，解得01x，即切线方程为11(x1)2y，即1122yx，即选项C正确；对于D：当120xx时，21212221212[]2222fxfxxxxxxxf21212121212122204244xxxxxxxxxxxx，即1212()22fxfxxxf成立，即选项D错误．故选：BC．11．已知236ab，则a，b满足（）A．abB．111abC．4abD．4ab【答案】CD【分析】由对数与指数的互换公式可得23log6,log6ab，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D【详解】由236ab，则23log6,log6ab,则0,0ab所以23lg6lg3lg2lg6lg6log6log60lg2lg3lg2lg3ab，所以选项A不正确.6611log2log31ab,所以选项B不正确.由11112abab，(因为ab¹，故等号不成立)，则4ab，故选项C正确.142122abbabaabababab(因为ab¹，故等号不成立)，故选项D正确.故选：CD12．若0ab，且222ab，则（）A．2bB．1baC．3ababD．2ab【答案】ACD【分析】根据0ab，且222ab，设ππ2cos,2sin,,42ab，利用三角函数的性质逐项判断.【详解】解：对于A，因为0ab，且222ab，所以设ππ2cos,2sin,,42ab，则2sin12，所以2b，故A正确；对于B，π2sin2cos2sin4ba，因为ππ,42，所以ππ0,44，所以π2sin0,42，则02ba，故B错误；对于D，π2sincos2sin4ab，因为ππ,42，所以ππ3π,424，所以π2sin,142，则2,2ab，故D正确；对于C，2sincos2sin