第53讲 事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A，B为两个事件，且()0PA，称()()()|PABPBAPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．注：（1）条件概率|()PBA中“|”后面就是条件；（2）若()0PA，表示条件A不可能发生，此时用条件概率公式计算|()PBA就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0PA的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()PBA．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B与C互斥，则(||()(|))PBCAPBAPCA．注：已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求|()PBA，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即|()nABnABnPABPBAnAnAPAn．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A，B，如果)(|)(PBAPB，则意味着事件A的发生不影响事件B发生的概率．设()0PA，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|PABPBPBAPA，从而()()()PABPAPB．由此我们可得：设A，B为两个事件，若()()()PABPAPB，则称事件A与事件B相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若()0PA，则()|)()(PABPAPBA．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A，B互相独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)nnn*N，个事件的相互独立性，即若事件1A，2A，…，nA相互独立，则这n个事件同时发生的概率1212()()()()nnPAAAPAAPA．2.事件的独立性（1）事件A与B相互独立的充要条件是()()()PABPAPB．（2）当()0PB时，A与B独立的充要条件是()()|PABPA．（3）如果()0PA，A与B独立，则()()()()()()()|PABPAPBPBAPBPAPA成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)PBPAPBAPAPBA；（2）定理1若样本空间中的事件1A，2A，…，nA满足：①任意两个事件均互斥，即ijAA，12ijn，，，，，ij；②12nAAA；③0iPA，12in，，，．则对中的任意事件B，都有12nBBABABA，且11()()()()|nniiiiiPBPBAPAPBA．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1PA且()0PB时，有()()()()()()()()()()||||PAPBAPAPBAPABPBPAPBAPAPBA（2）定理2若样本空间中的事件12nAAA，，，满足：①任意两个事件均互斥，即ijAA，12ijn，，，，，ij；②12nAAA；③01iPA，12in，，，．则对中的任意概率非零的事件B，都有12nBBABABA，且1()()()()()()()()|||jjjjjniiiPAPBAPAPBAPABPBPAPBA注：贝叶斯公式体现了|()PAB，()PA，()PB，|()PBA，|()PBA，()PAB之间的关系，即()()()|PABPABPB，()()()()()||PABPABPBPBAPA，|()()()()(|)PBPAPBAPAPBA.题型一事件的相互独立性策略方法1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔()()()PABPAPB．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当()0PA时，可用(|)()PBAPB判断．2.求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的．（2）求出每个事件的概率，再求积．注：使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．【典例1】（单选题）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立【典例2】（单选题）如图，三个元件1T，2T，3T正常工作的概率分别为12，14，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（）A．332B．316C．1316D．1332二、题型分类精讲【题型训练】一、单选题1．从甲口袋内摸出一个白球的概率是13，从乙口袋内摸出一个白球的概率是12，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是（）A．两个都不是白球B．两个不全是白球C．两个都是白球D．两个球中恰好有一个白球2．某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为35，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（）A．36125B．925C．80125D．811253．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙不相互独立D．丙与丁相互独立4．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω1,2,3,4,5,6,7,8，设11,2,3,4A，231,2,3,5,1,6,7,8AA，则（）A．1A与2A互斥B．1A与3A相互对立C．1A与2A相互独立D．123123PAAAPAPAPA5．现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（）A．乙与丙相互独立B．乙与丁相互独立C．甲与丙相互独立D．甲与乙相互独立6．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（）①A与C互斥②B与D对立③A与D相互独立④B与C相互独立A．①③B．①④C．②③D．②④7．某中学运动会上有一个项目的比赛规则是：比赛分两个阶段，第一阶段，比赛双方各出5人，一对一进行比赛，共进行5局比赛，每局比赛获胜的一方得1分，负方得0分；第二阶段，比赛双方各出4人，二对二进行比赛，共进行2局比赛，每局比赛获胜的一方得2分，负方得0分．先得到5分及以上的一方裁定为本次比赛的获胜方，比赛结束．若甲、乙两个班进行比赛，在第一阶段比赛中，每局比赛双方获胜的概率都是12，在第二阶段比赛中，每局比赛甲班获胜的概率都是45，每局比赛的结果互不影响，则甲班经过7局比赛获胜的概率是（）A．38B．110C．15D．3168．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A“7xy”，事件B“xy为奇数”，事件C“3x”，则下列结论正确的是（）A．A与B对立B．16PBCC．A与C相互独立D．B与C相互独立二、多选题9．甲､乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签.其中，甲袋中有编号为123､､的三个号签；乙袋有编号为123456､､､､､的六个号签.现从甲､乙两袋中各抽取1个号签，从甲､乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签6；事件C：抽取的两个号签和为3；事件D：抽取的两个号签编号不同.则下列选项中，正确的是（）A．118PABB．19PCC．事件A与事件C相互独立D．事件A与事件D相互独立10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“7xy”，B=“xy为奇数”，C=“3x”，则下列结论正确的是（）A．事件A与B互斥B．事件A与B是对立事件C．事件B与C相互独立D．事件A与C相互独立11．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（）A．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件;B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,534，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是2312．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y，设事件1A“5xy”，事件2A“2yx=”，事件3A“2xy为奇数”，则（）A．119PAB．2112PAC．1A与3A相互独立D．2A与3A相互独立三、填空题13．已知A，B，C3人进行射击比赛，且A，B，C一次射击命中10环的概率分别为0.9，0.9，0.95，若他们每人射击一次，则至少有2人命中10环的概率为.14．若,AB两个事件相互独立，且13PAB，则PAB.15．某公司招新面试中有3道难度相当的题目，小明答对每道题目的概率都是0.7.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，则小明最终通过面试的概率为.16．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为．17．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为．18．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.①A与C互斥②B与D对立③A与D相互独立④B与C相互独立则上述说法中正确的为.四、解答题19．为普及法律知识，弘扬宪法精神，某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮，即初赛和决赛，决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中，已知甲教师晋级决赛的概率为23，乙教师晋级决赛的概率为a.若甲､乙能进入决赛，在决赛中甲､乙两人能胜出的概率分别为13和12.假设甲､乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.(1)若甲､乙有且只有一人能晋级决赛的概率为512，求a的值；(2)在（1）的条件下，求甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.20．某项选拔