第11练 对数与对数函数（精练：基础+重难点）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题1．（2023·天津·统考二模）已知2823,log9xy，则2xy（）A．3B．5C．22log3D．32【答案】A【分析】根据指对运算化简2log3x，再根据对数运算法则计算2xy的值.【详解】223log3xx，28log9y222228822log3loglog3log8399xy.故选：A.2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数22logfxxxm在区间1,2存在零点．则实数m的取值范围是（）A．,5B．5,1C．1,5D．5,【答案】B【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.【详解】由12logyx在0,上单调递增，22yxm在0,上单调递增，得函数22logfxxxm在区间0,上单调递增，因为函数22logfxxxm在区间1,2存在零点，所以1020ff，即2222log110log220mm，解得51m，所以实数m的取值范围是5,1.故选：B.3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：ertIt（其中e2.71828是自然对数的底数）描述累计感染病例数It随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与0R，T近似满足01RrT.有学者基于已有数据估计出03.28R，6T，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（参考数据：ln20.69，ln31.1）A．1.2天B．1.8天C．2.9天D．3.6天【答案】B【分析】根据所给模型求得0.38r，令0t，求得0I，根据条件可得方程0.38e2t，然后解出t即可．【详解】把03.28R，6T代入01RrT，可得013.2810.386RrT，0.38etIt，当0t时，01I，则0.38e2t，两边取对数得0.38ln2t，解得ln21.80.38t．故选：B.4．（2023春·贵州·高三校联考期中）若0.3log0.4a，0.31.2b，2.1log0.9c，则（）A．abcB．bcaC．acbD．bac【答案】D【分析】a用对数函数的单调性和0,1比较，b用指数函数的单调性和1比较，c用对数函数的单调性和0比较，即可判断大小关系.【详解】因为00.31,所以0.3=logyx为减函数，所以0.30.30.3log1log0.4log0.3，即01a.因为1.21,所以=1.2xy为增函数，所以0301.21.2．，即1b.因为2.11,所以2.1=logyx为增函数，所以2.12.1log0.9log1，即0c，所以bac＞．故选：D5．（2023·云南·校联考二模）函数ππln(cos),,22yxx的图象大致形如（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππln(cos),,22yxx，cosyx为偶函数，则ln(cos)yx为偶函数，又0cos1x，则ln(cos)0yx.故选A．6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数()|ln|fxx．若0ab，且()()fafb，则4ab的取值范围是（）A．(4,)B．[4,)C．(5,)D．[5,)【答案】C【分析】根据函数图象得lnlnab，则1ba，令1()44gbabbb，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围.【详解】由()()fafb得|ln||ln|ab．根据函数|ln|yx的图象及0ab，得lnlnab，01ab，所以1ba．令1()44gbabbb，根据对勾函数的图像与性质易得()gb在(1,)上单调递增，所以()(1)5gbg．故45ab，故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()log(1)1afxx，(0,1)aa恒过定点A，过定点A的直线:1lmxny与坐标轴的正半轴相交，则mn的最大值为（）A．12B．14C．18D．1【答案】C【分析】求出A，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.【详解】令11x，即2x，得(1)1f，则2,1A，则21mn且0m，0n，由12221228mnmnmnmn．当且仅当14m，12n时，等号成立，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数22ln41xxxfx的部分图象大致为（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】先求出定义域，由fxfx得到fx为偶函数，结合函数在0,1,1,上函数值的正负，排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案.【详解】22ln41xxxfx变形为2ln22xxxfx，定义域为,00,U，22lnln2222xxxxxxfxfx，故fx为偶函数，关于y轴对称．当01x时，0fx，1x时，0fx，排除BC，又x时，0fx，故排除D，A正确.故选：A．9．（2023·河南周口·统考模拟预测）若4log5a，21log62b，0.612c，则（）A．bacB．abcC．cbaD．cab【答案】A【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.【详解】24222log511log5log5,log6,1log422abba，对于指数函数12xy，当0x时，01y，0.6112，bac；故选：A.10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1,24log,2axaxfxxx，若命题“xR，1fx”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．3,22B．1,2C．1,2D．32,2【答案】A【分析】根据题意，转化为命题“xR，1fx”为真命题．利用不等式恒成立得出关于a的不等式求解.【详解】由题意知0a且1a，命题“xR，1fx”为真命题，当2x时，14fxxa，易知fx在,2上单调递减，其最小值为12a，则由1fx恒成立得112a，即32a；当2x时，log1afxx恒成立，则1a，此时函数logafxx为增函数，故log21logaaa，得12a．综上，322a，即实数a的取值范围是3,22．故选：A11．（2023·河北·高三学业考试）若函数logafxx（0a且1a）在区间2,2aa上的最大值比最小值多2，则a（）A．2或312B．3或13C．4或12D．2或12【答案】A【分析】分别讨论1a和01a，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.【详解】由题意22aa解得12a或a0（舍去），①当1a时，函数logafxx在定义域内为增函数，则由题意得2log2log2aaaa，所以log22aa即22aa，解得2a或0a（舍去）；②当112a时，函数logafxx在定义域内为减函数，则由题意得2loglog22aaaa，所以1log22aa即212aa，解得312a；综上可得：2a或312.故选：A.【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.12．（2023·全国·高三专题练习）设63log5a，34log3b，5log2c，则（）A．bcaB．acbC．cabD．cba【答案】C【分析】根据题意，化为36log5a，43log3b，52log2c，即可比较,ab的大小关系，然后6,6ac作商即可比较,ac的大小，从而得到结果.【详解】由题设知36log5a，43log3b，52log2c.因为36log5a，43log3b，所以333122log5log25log273a，422124log32log3log93b，所以1212ab，故ab.因为52log2c，所以2253log86lg8lg3lg8lg3lg2416log5lg5lg52lg5lg25ca，所以66ca，所以ca，于是cab.故选：C.二、多选题13．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（）A．3535eeeeB．lg3lg5lg3lg5C．ππππ2635D．3535log10log10log10log10【答案】BD【分析】根据指数以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,35853ee11eee=+，由于e2，所以3585353ee1111e1ee22++=，故A错误，对于B,由于1lg30,1lg50，所以lg3lg5111lg3lg5lg5lg3=+，所以lg3lg5lg3lg5，故B正确，对于C,ππππ33ππππ2626111113515152222，所以C错误，对于D，由于353log102,2log101，所以353553log10log1011lg5lg3lg151log10log10log10log10=+，故D正确，故选：BD14．（2023·全国·高三专题练习）设函数lgfxx在,a上的最小值为am，函数πsin2xgx在0,a上的最大值为aM，若12aaMm，则满足条件的实数a可以是（）A．23B．13C．1010D．10【答案】BD【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.【详解】函数()fx和()gx的图象，如图，当01a时，函数lgfxx在,1a上单调递减，在1,上单调递增，所以lg10am，函数πsin2xgx在0,a上单调递增，所以πsin2aaM，所以π1sin22aaaMm，解得13a；当1a时，函数lgfxx在,a上单调递增，所以lglgamaa，由图可知，函数πsin2xgx在0,a上，有ππ022xa，得1aM所以11lg2aaMma，解得10a，结合选项，实数a可以是13和10.故选：BD.三、填空题15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x、y满足lgxm、110my，则xy______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lgxm转化