2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.13圆锥曲线中探索性与综合性问题题型一探索性问题例1(2023·南通模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，且过点153，2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)依题意ca＝2，53a2－2b2＝1，结合c2＝a2＋b2，解得a＝1，b＝3，c＝2.所以双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.(2)假设存在点M(t,0)(t0)满足题设条件．由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点．当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0)．当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－y0x0－2，tan∠QMF＝kQM＝y0x0－t.因为∠QFM＝2∠QMF，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以－y0x0－2＝2×y0x0－t1－y0x0－t2.将y20＝3x20－3代入并整理得－2x20＋(4＋2t)x0－4t＝－2x20－2tx0＋t2＋3，所以4＋2t＝－2t，－4t＝t2＋3，解得t＝－1.即M(－1,0)．综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．解(1)由题意得，因为点M(2，m)在抛物线上，所以22＝2pm，由抛物线的定义，得m＋p2＝2，则m＋p2＝2，22＝2pm，解得m＝1，p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)由(1)得M(2,1)，设点Ax1，x214，Bx2，x224，则kMA＝x1＋24，kMB＝x2＋24，所以kMAkMB＝x1＋24×x2＋24＝－2，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；设直线AB方程为y＝kx＋b，由y＝kx＋b，x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时k＝－1kMN＝12，所以直线AB的方程为y＝12x＋10.题型二圆锥曲线的综合问题例2(2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p0)的焦点是椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝12.(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)由题意知，a＝4，ca＝12，所以c＝2，所以b＝a2－c2＝23，p＝4.所以抛物线C1的方程为y2＝8x，椭圆C2的方程为x216＋y212＝1.(2)由题设知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则联立y2＝8x，x＝my＋4，得y2－8my－32＝0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.所以S2S1＝12|OC|·|OD|sin∠COD12|OE|·|OF|sin∠EOF＝|OC|·|OD||OE|·|OF|＝|y1|·|y2||yE|·|yF|＝32|yE|·|yF|，因为直线OC的斜率为y1x1＝y1y218＝8y1，所以直线OC的方程为y＝8y1x.由y＝8y1x，x216＋y212＝1，得y2y2164×16＋112＝1，则y2Ey2164×16＋112＝1，同理可得y2Fy2264×16＋112＝1，所以y2E·y2Fy2264×16＋112y2164×16＋112＝1，所以y2E·y2F＝36×256121＋48m2，要使S1∶S2＝3∶13，只需322×121＋48m236×256＝1332，解得m＝±1，所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有PA→·PB→＝0.跟踪训练2如图，过抛物线E：y2＝2px(p0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(1)求抛物线E的方程；(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．解(1)当直线AB的斜率不存在时，此时Ap2，p，Bp2，－p，∴|AB|＝2p，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－p2，联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋k2p24＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝k2p＋2pk2＝2pk2＋p，此时|AB|＝x1＋x2＋p＝2pk2＋2p2p，显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，则直线OA的方程：y＝4y1x，直线OB的方程：y＝4y2x，由(1)知，x1x2＝p24，∴y1y2＝－2p＝－4，∴y3＝－16y1，y4＝－16y2＝－16－4y1＝4y1，设圆心M(x0，y0)，则y0＝y3＋y42＝2y1－8y1.若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，则x0＝t＋m2.由|MD|＝|MG|，得(x0＋4)2＋(y0－y4)2＝(x0－t)2＋y20，∴4t＋4m＋80＝－tm，由于t≠－4，∴m＝－4t－80t＋4也为定值．∴H也为定点．若t＝－8，则m＝12，S＝12|FH||y1－y2|＝112|y1－y2|＝112y1＋4y1≥112×4＝22，当且仅当y1＝±2时取到最小值．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君故△ABH的面积的最小值为22.课时精练1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为33，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．解(1)由题意可知ca＝33，12bc＝2，a2＝b2＋c2，解得a＝6，b＝2，c＝2，所以椭圆C的方程为x26＋y24＝1.(2)假设满足条件的直线l存在，由E(0，－2)，F(2，0)，得kEF＝2，因为点F为△EAB的垂心，所以AB⊥EF，所以kAB＝－22，设直线l的方程为y＝－22x＋t，代入x26＋y24＝1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君得7x2－62tx＋6(t2－4)＝0，Δ＝(－62t)2－4×7×6(t2－4)＝－96t2＋6720，即－7t7.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝627t，x1x2＝6t2－47，由AF⊥BE得y1x1－2·y2＋2x2＝－1，所以y1y2＋2y1＋x1x2－2x2＝0，将y1＝－22x1＋t，y2＝－22x2＋t代入上式，得3x1x2－2(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，所以3×6t2－47－2(t＋2)·62t7＋(2t2＋4t)＝0，所以5t2＋t－18＝0，解得t＝95(t＝－2舍去)，满足Δ0，所以直线l的方程为y＝－22x＋95.2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴长为2，离心率为32.设点M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝a2＋m22m，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影分别为A′，B′.(1)求椭圆C的方程；(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．解(1)由题意可知b＝1，ca＝32，又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝1，c＝3.∴椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为a2＋m22m，0，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则|AA′|·|BB′|＝a2＋m22m－a·a2＋m22m＋a＝a4＋m4＋2a2m24m2－a2＝a2－m224m2＝4－m224m2，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，联立方程组x＝ky＋m，x24＋y2＝1，消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ0时，x1＋x2＝8m4＋k2，x1x2＝4m2－4k24＋k2，∴|AA′|·|BB′|＝x1－4＋m22m·x2－4＋m22m＝x1x2－4＋m22mx1＋x2＋4＋m224m2＝－4＋4＋m224m2＝4－m224m2.综上，|AA′|·|BB′|为定值4－m224m2.3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为π4的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．解(1)设过点F且倾斜角为π4的直线方程为y＝x－p2，代入y2＝2px(p0)，得x2－3px＋p24＝0，若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.(2)设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，即x＝y－y0k＋x0，代入y2＝4x，整理得ky2－4y＋4y0－ky20＝0，因为此直线与抛物线相切，所以Δ＝4(4－4ky0＋k2y20)＝0，即(ky0－2)2＝0，解得k＝2y0，所以过A的切线为y－y0＝2y0(x－x0)，令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相