专题7.3 求数列的通项公式（原卷版）

专题7.3求数列的通项公式题型一观察法题型二周期数列题型三累加法题型四累乘法题型五待定系数法题型六取倒数法、取对数法题型七已知nSfn求通项公式题型八已知nnSfa或者1nnSfa求通项公式题型九因式分解型求通项题型一观察法例1．（2023春·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11513,,,24816；(2)222221314151,,,2345；(3)7，77，777，7777.例2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.练习1．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（）A．数列1，0，1，2与数列2，1，0，1是相同的数列B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2nanD．数列3,7,11,15，…的一个通项公式为41nan练习2．（2023春·江西·高三校联考期中）已知数列na为1，4，9，16，25，36，…，则数列na的一个通项公式是（）A．2(1)nnB．12(1)nnC．13(1)nnD．3(1)nn练习3．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列na满足11a，22a，35a，写出满足条件的na的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）练习4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．36B．49C．64D．81练习5．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知数列12，12，38，14，532，…，则该数列的第100项为（）A．98252B．100992C．98252D．100992题型二周期数列例3．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列na满足1111112,1nnnnaaaaa，则2023a（）A．2B．12C．3D．13例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列na中，已知122,3aa，当2n时，1na是1nnaa的个位数，则2023a（）A．4B．3C．2D．1练习6．（2023·全国·模拟预测）已知首项为12的数列na的前n项和为nS，若111nnnnSSaa，则1232023aaaa（）A．12B．1C．16D．13练习7．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列na满足：10a，22a，212(1)nnnaaan，记数列na的前n项和为nS，则2023S______．练习8．（2023·全国·高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、L，即11L，23L，且21nnnLLLnN.则洛卡斯数列nL的第2020项除以4的余数是（）A．0B．1C．2D．3练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，112nnnaaa，则2023a_______.练习10．（2023·北京通州·统考三模）数列na中，121124(2)nnnaaaaan，，，则2023a（）A．14B．12C．2D．4题型三累加法例5．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，已知11a，12nnaan，求通项公式na．例6．（2023·全国·高三专题练习）设数列na满足1=2a，21132nnnaa.求na的通项公式.练习11．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知数列na满足：112a-，232a，数列1nnaa是以4为公差的等差数列．(1)求数列na的通项公式；(2)记数列1na的前n项和为nS，求2023S的值．练习12．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.练习13．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列na满足112nnnana，11a，则数列na的通项公式为______．练习14．（2023春·江苏南京·高三南京大学附属中学校考阶段练习）在数列na中，13a，121nnnaa.(1)证明：数列nan是等比数列；(2)求数列2nna的前n项和nS.练习15．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列na的各项均不为零，且满足11a，111nnnaana（2n，*Nn），则na的通项公式na__________．题型四累乘法例7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足12a，1221nnnaan，则na的通项公式为___________．例8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a．(1)若1122nnnaan，求na的通项公式．(2)若1122nnnaan，求na的通项公式．练习16．（2022秋·重庆北碚·高三重庆市兼善中学校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，*4211ΝnnSnan．(1)求1a，2a；(2)求数列na的通项公式．练习17．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知向量11,1,a，1,0nbn，111Nnnnnnaaabbn，则34ab______，13224231nabababnL______．练习18．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列na中，12a，432a，2212nnnaaa，则2a______，na______．练习19．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列na满足：111,42nnnaaan.(1)求数列na的通项公式；(2)若(1)(21)nnnbna，求数列nb的前n项和nS.练习20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，21S，11122nnaan．(1)求数列na的通项公式；(2)证明：2nS．题型五待定系数法例9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.求{an}的通项公式.例10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na是首项为11152,233nnaaan.(1)求na通项公式；(2)求数列na的前n项和nS.练习21．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足11535nnnaa，16a，则数列{an}的通项公式为___________.练习22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na中，11a，134nnaa，则数列na的通项公式为_____________.练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足111243,1nnnaaa，则数列na的通项公式为_____________.练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na中，12(1)(1)nnnanann且11a，则数列na的通项公式为_____________.练习25．（2022·全国·高三专题练习）设数列na满足：11a，12nnnaa（2n），数列nb满足：1(1)3nnnba．求数列nb的通项公式．题型六取倒数法、取对数法例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足11a，21100nnnaaa，求na的通项公式.例12．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）（多选）已知数列na满足11 1,23nnnaaaa，则下列结论正确的有（）A．13na为等比数列B．na的通项公式为1123nnaC．na为递增数列D．1na的前n项和2234nnTn练习26．（2023春·高三课时练习）数列na中，12a，21nnaa，则下列结论中正确的是（）A．数列na的通项公式为2nnaB．数列na为等比数列C．数列lnna为等比数列D．数列lnna为等差数列练习27．（2023·全国·高三专题练习）已知nT为正项数列na的前n项的乘积，且2113,nnnaTa(1)求数列na的通项公式(2)令3lognnba，求数列nnab的前n项和nR.练习28．（2022秋·湖南娄底·高三湖南省新化县第一中学校考期末）（多选）已知数列na满足132a，136nnnaaa，则下列结论中错误的有（）A．113na为等比数列B．na的通项公式为11321nC．na为递增数列D．1na的前n项和为213nn练习29．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列na中，113a，12nnnaaa.(1)求数列na的通项公式；(2)求证：数列na的前n项和1nS.练习30．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列na满足11a，22a，232123nnnaaan，21log22nnnabna．(1)当2n时，求数列nb的通项公式；(2)若2log1nnnaca，求数列nc的前n项和．题型七已知nSfn求通项公式例13．（2023·全国·高三专题练习）记数列na的前n项和为nS，若18a，且2*22nnnSnanN，则15S__________.例14．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且22.nSnn(1)求证：数列na是等差数列；(2)设11nnnbaa，求数列nb的前n项和.练习31．（2023·浙江绍兴·统考二模）设数列na的前n项和为nS，数列2nSn是首项为1，公差为1的等差数列，(1)求数列na的通项公式；(2)设2nnba，求数列(1)nnb的前n项和nT.练习32．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知数列nanN满足1221122222nnnaaan．(1)求数列na的通项公式；(2)求21232nkkkakk；(3)若2cosπnnbann，求数列nb前2n项和2nT．练习33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12321naanan．(1)证明：1na是一个等差数列；(2)已知21,19,nnnnnacaan为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和2n