专题7.2 基本不等式(原卷版)

7.2基本不等式思维导图知识点总结1.基本不等式(1)如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时等号成立).我们把不等式ab≤a＋b2(a，b≥0)称为基本不等式.(2)当a，b∈R时，aba2＋b22(当且仅当a＝b时等号成立)，aba＋b22(当且仅当a＝b时等号成立).2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值对于正数a，b，在运用基本不等式时应注意：(1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值.(2)取等号的条件当且仅当a＝b时，ab＝a＋b2.[常用结论]1.ab≤a＋b22≤a2＋b22.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.典型例题分析考向一利用基本不等式求最值角度1配凑法例1(1)若x＜23，则f(x)＝3x＋1＋93x－2有()A.最大值0B.最小值9C.最大值－3D.最小值－3(2)已知0＜x＜22，则x1－2x2的最大值为________.(3)(2023·天津模拟)函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的最小值为________.角度2常数代换法例2(1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，1x＋2y的最小值为________.(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则1x＋41－x的最小值是________.角度3消元法例3(2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为________.角度4构建不等式法例4已知x0，y0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax＋by的最值”的问题，先将ax＋by转化为ax＋by·x＋yt，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.考向二利用基本不等式求参数或范围例5(1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为________.(2)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.考向三利用基本不等式解决实际问题例6为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为400x·4＋4x万元，400x·4＋4x≥160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.考向四重要不等式链若a＞0，b＞0，则21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.其中21a＋1b和a2＋b22分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.一、利用不等式链求最值例1(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.ab有最大值12B.1a＋2b＋12a＋b有最小值3C.a2＋b2有最小值12D.a＋b有最大值2二、利用基本不等式链证明不等式例2已知a，b，c都是非负实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2(a＋b＋c).训练当－12＜x＜52时，函数y＝2x－1＋5－2x的最大值为________.基础题型训练一、单选题1．已知正数x，y满足124xyxy，则y的最大值为（）A．55B．12C．1D．22．已知0a，0b，则112abab的最小值是A．2B．22C．4D．53．设110ab，则（）A．22abB．2abbC．2ababD．22222abab4．若a＞1，则11aa的最小值是（）A．2B．aC．21aaD．35．已知0,0xy，且211xy，若228xymm有解，则实数m的取值范围为（）A．（∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）6．已知0ab，全集为R，集合}2|{baxbxE，}|{axabxF，}|{abxbxM，则有（）A．EM（RCF）B．M（RCE）FC．FEMD．FEM二、多选题7．在下列函数中，最小值是2的函数有（）A．221()fxxxB．1()cos(0)cos2fxxxxC．224()3xfxxD．4()323xxfx8．110ab，则下列结论正确的是（）A．lg0abB．2baabC．11bbaaD．baab三、填空题9．已知正数a、b满足a+b=1，则a·b的最大值为_____．10．已知x＜0，则423xx的最大值等于________．11．已知a0，b0，且a+2b=2，则11ab的最小值为______12．设a、b是不等于1的正数，则loglogabMba的取值范围是____________.四、解答题13．设02x，求函数383yxx的最大值.14．（1）当0,0,xy且111xy时，求函数2xy的最小值.（2）当32x时，求函数823yxx的最大值.15．（1）若3x，求23xyx的最小值；（2）若0xy，22Mxy，333Nxy，比较M、N的大小.16．定义:记12minnxxx，，…，为12nxxx，，…，这n个实数中的最小值，记12maxnxxx，，…，为12nxxx，，…，这n个实数中的最大值，例如:min3202，，.（1）求证:22minxyxyxy，；（2）已知max23fxxxxR，，求fx的最小值；（3）若11maxxyHxyRxxyy，，，，求H的最小值.提升题型训练一、单选题1．若命题“对任意的,()0x，10xmx恒成立”为假命题，则m的取值范围为（）A．[2,)B．(2,)C．(,2]D．(,2)2．若点(,)Pxy在线段AB上运动，且(4,0)A，(0,2)B，设22loglogTxy，则A．T有最大值2B．T有最小值1C．T有最大值1D．T没有最大值和最小值3．若0,0,lglglg()ababab，则ab的最小值为A．8B．6C．4D．24．若0a，0b，则“8ab”是“16ab”的（）.A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知1x，则211xxyx的最小值是（）A．1B．2C．3D．46．已知a，bR，360ab，则128ab的最小值为（）A．14B．12C．34D．1二、多选题7．下列说法中正确的是（）A．不等式2abab恒成立B．当0x时，2254xx的最小值是2C．设0x，0y，且2xy，则14xy的最小值是92D．aR，使得不等式12aa成立8．已知,0ab，且1ab，则下列说法正确的是（）A．2abB．11222abC．2abab的最小值为264D．2212ab三、填空题9．已知0x，比较两数的大小：(1)(4)xxx______9．10．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：01034mNhhh．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设Fh为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使Fh达到最小值的隔热层的厚度h＝______厘米．11．已知0,0xy,且121xy,若2xym恒成立，则实数m的取值范围是．当m取到最大值时x．12．若实数x，y满足221xyxy，则xy的最小值为______.四、解答题13．已知0x，求1yxx的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．14．若1x，1y，且3xyxy，求xy与xy的最小值．15．已知fx满足22fxfxxx，求fx的解析式.16．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数23fxxxa的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若正实数,mn满足2mn，求21mn的取值范围.