专题01 解三角形（解答题10种考法）（精讲）（原卷版）

专题01解三角形（解答题10种考法）考法一公式的直接运用【例1】（2023·天津·统考高考真题）在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc．已知39,2,120abA．(1)求sinB的值；(2)求c的值；(3)求sinBC．【变式】1．（2022·天津·统考高考真题）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知16,2,cos4abcA.(1)求c的值；(2)求sinB的值；(3)求sin(2)AB的值.2．（2022·浙江·统考高考真题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知345,cos5acC．(1)求sinA的值；(2)若11b，求ABC的面积．3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角,,ABC的对边，且32sincaC．(1)求A；(2)若7a，2b，求c；(3)若2cos3B，求cos2BA的值．考法二三角形的面积【例2-1】（2023·福建·校联考模拟预测）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a，3cossin3BaBc，且coscosbBcC.(1)求A；(2)求ABC的面积.【例2-2】（2023·湖南永州·统考一模）在ABC中，设,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足coscoscAaCab．(1)求角C；(2)若5,cABC的内切圆半径34r，求ABC的面积．【变式】1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足11tantantan2CAB.(1)求tantanAB的值；(2)若10coscos,610ABc，求ABC的面积S.2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数233()sin23sin22fxxx.(1)求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，且31,1bca，若3()2fA，求ABC的面积.3．（2023·河南开封·统考三模）在ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足coscosbAaBac．(1)求角B；(2)若5b，ABC的内切圆半径34r，求ABC的面积．考法三三角形的周长【例3-1】（2023·山东菏泽）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,abc已知1b，面积28sinaSA，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）6B;（2）BC.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例3-2】（2023·重庆南岸）设213sincoscos2fxxxx，（1）求fx的单调递增区间；（2）在ABC中，角A为锐角，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若02Af，1a，23bc，求三角形的周长.【变式】1．（2022·北京·统考高考真题）在ABC中，sin23sinCC．(1)求C；(2)若6b，且ABC的面积为63，求ABC的周长．2．（2023·河南·校联考二模）记ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)3osicsncAaACB.(1)求A；(2)设AB的中点为D，若CDa，且ABC的周长为57，求a，b.3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在①3sin4abCABAC；②3sin4cos4aBBc，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，____________．(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积为2，4a，求ABC的周长．考法四爪型三角形【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知在ABC中，3,2sinsinABCACB．(1)求sinA；(2)设5AB，求AB边上的高．【例4-2】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知31cossinbBaA.(1)求B.(2)若2a，1c，___________，求BD.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例4-3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足cos2cos0cBbaC.(1)求C；(2)若CD平分ACB，且2ADDB，2CD，求ABC的面积.【变式】1.（2023·福建宁德·校考二模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且28sin72cos22BCA．(1)求A；(2)若7a，5bc，D为BC中点，求AD的长．2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,ABC面积为S,且222432Sbcbca．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝3,求b．3．（2023·河南·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC的面积记为S，已知3sin0cosScCaA，sin3sinBC．(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．考法五多边多角【例5-1】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，90BAD，60D，4AC，3CD.(1)求cosCAD；(2)若532AB，求BC.【例5-2】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，ABAD，1AB，3AC，2π3ABC，21cos7ACD．(1)求BAC的值；(2)求CD的长．【变式】1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角πBD，3AB，1DA，BCCD，且7AC．(1)求角B；(2)若点P是线段AB上的一点，3PC，求PA的值．2．（2023春·浙江金华）如图，四边形ABCD是由ABC与正ACD拼接而成，设1AB，sin3sinBACACB.(1)当90ABC时，设BDxBAyBC，求x，y的值；(2)当150ABCo时，求线段BD的长.3（2023广东）在三角形ABC中，150ABC，60ACD，3AB，1BC，7CD．(1)求BD的长；(2)若AC与BD交于点O，求AOD△的面积．考法六最值【例6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsin2BCcaC.(1)求角A；(2)若3a，求ABC周长的取值范围.【例6-2】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．【例6-3】（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．(1)若23C，求B；(2)求222abc的最小值．【变式】1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，sinsin2BCbaB．(1)求A；(2)若BC边上一点D，满足2BDCD且3AD，求ABC的面积最大值．2．（2023·江西九江·统考一模）ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc，已知2b，2sin3cosAaB．(1)求角B的值；(2)求AC边上高的最大值．3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在ABC中，以a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且222coscoscos1sinsinBCABC(1)求A；(2)若2cosabB，3a，求BC边上中线长.4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,ABC面积为S,且222432Sbcbca．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝3,求b．考法七三角形的四心【例7】（2023春·浙江温州）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2sin30bAa，角B为钝角．(1)求B；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．若5a，3c，O为ABC的___________，求OAC的面积．【变式】1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=sin2cosAA(1)求bc的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）ABC的内角A，B，C所对的边分别为,,,6,sinsin2BCabcabaB．(1)求A的大小；(2)M为ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，___________，求ABC的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC存在，并解决问题．①M为ABC的重心，23AM；②M为ABC的内心，33AD；③M为ABC的外心，4AM．3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3sincoscosbACcaB.(1)求B；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.若5a，3c，O为ABC的___________，求OAC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.考法八解三角形与三角函数性质的综合【例8】（2023·广东）设函数()fxmnurr，其中向量2cos,1mx，cos,3sin2nxxxR.(1)求()fx的最小值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知2fA，1b，△ABC的面积为32，求sinsinbcBC的值.【例8-2】（2023·北京）已知函数sin6fxxm，将yfx的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6个单位后得到gx的图象，且ygx在区间,43内的最大值为32.（1）求m的值；（2）在锐角ABC中，若322Cg，求tantanAB的取值范围.【变式】1．（2023春·山西晋城）已知函数2()23sincos2cosfxxxx.(1)求函数2log()yfx的定义域和值域；(2)已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若02Af，求bca的最大值.2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数2sin3sincos1222xxfxx.(1)求函数yfx的单调递减区间；(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足221cos2abacBbc，求fB的取值范围.3．（2023春·云南）已知函数()2sin()0,22fxx的部分图象如图所示．（1）求函数()fx的解析式；（2）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若()3fA，2b，且ABC的面积为332，求a．考法九证明题【例9】（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．(1)若2AB，求C；(2)证明：2222abc【变式】1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，