专题21 概率与统计的综合运用（13大题型）（练习）（原卷版）

专题21概率与统计的综合运用目录01求概率及随机变量的分布列与期望.................................................................................................202超几何分布与二项分布....................................................................................................................303概率与其它知识的交汇问题............................................................................................................404期望与方差的实际应用....................................................................................................................605正态分布与标准正态分布................................................................................................................806统计图表及数字特征.....................................................................................................................1007线性回归与非线性回归分析..........................................................................................................1308独立性检验.....................................................................................................................................1509与体育比赛规则有关的概率问题..................................................................................................1810决策型问题.....................................................................................................................................2011递推型概率命题.............................................................................................................................2112条件概率、全概率公式、贝叶斯公式...........................................................................................2313高等背景下的概统问题..................................................................................................................2501求概率及随机变量的分布列与期望1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望EX．3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按50%,30%和20%计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：项目选手1选手2选手3选手4专业能力/分85808284创新意识/分80808582写作水平/分86858688(1)该科研所应招聘哪两名选手？并说明你的理由．(2)该科研所要求新招聘的两名科研人员上岗前参加线上培训．已知专业能力、创新意识和写作水平各有两个线上报告，培训者需从每个项目的两个报告中选择一个学习，记新招聘的两名科研人员参加学习的相同报告的数目为X，求X的概率分布列和数学期望．4．（2024·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为12，甲不会比划的成语，乙无法猜对．(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；(2)设甲乙配合猜对成语个数为X，求X的分布列和数学期望．02超几何分布与二项分布5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望EX．(2)现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有010,aaaN条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0aa时，事件A发生的概率最大，求0a的值．6．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为(01)pp，且每道题答对与否互不影响.(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p的取值范围.7．（2024·广东肇庆·统考一模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X.(1)当6n时，求2PX(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最Y，若其数学期望EY和方差DY均存在，则对任意正实数a，有21DYPYEYaa.根据该不等式可以对事件“YEYa”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.03概率与其它知识的交汇问题8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，三棱锥PABC的外接球半径2R.(1)求三棱锥PABC的侧面积S的最大值；(2)若在底面ABC上，有一个小球由顶点A处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点B的概率为12，滚向顶点C的概率为12；当球在顶点B处时，滚向顶点A的概率为23，滚向顶点C的概率为13；当球在顶点C处时，滚向顶点A的概率为23，滚向顶点B的概率为13.若小球滚动3次，记球滚到顶点B处的次数为X，求数学期望EX的值.9．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，一只蚂蚁从正方体1111ABCDABCD的顶点1A出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为16，沿正方体的侧棱爬行的概率为23．(1)若蚂蚁爬行n次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C出现的次数为X，求X的分布列与数学期望．10．（2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用AI作业的人数，求的分布列和数学期望；(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“1X”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X0”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“1Y”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y0”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）04期望与方差的实际应用11．（2024·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x，2x，3x，4x，其方差为21s；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y，2y，3y，4y，其方差为22s；1x，2x，3x，4x，1y，2y，3y，4y的方差为23s.写出21s，22s，23s的大小关系.（结论不要求证明）12．（2024·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中*nN），记第i次试验中的A种数目为随机变量iX（1,2,,in）；③记随机变量11niiXXn，利用X的期望EX和方差DX进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．(1)已知ijijEXXEXEX，ijijDXXDXDX，证明：