专题3.1 导数的定义、导数的运算（原卷版）

3.1导数的定义、导数的运算思维导图知识点总结1．导数的概念(1)平均变化率：我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．导数的几何意义曲线f(x)的割线P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，则割线P0P的斜率是k＝f（x）－f（x0）x－x0，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝3．导函数的概念当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝□01f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝ax(a0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)g(x)]′＝；(3)f（x）g（x）′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．(2)一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．7．常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)熟记以下结论：①1x′＝－1x2；②1f（x）′＝－f′（x）[f（x）]2(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).典型例题分析考向一导数的运算例1f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e知识点总结常见形式及具体求导的六种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二导数与函数的图象例2已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为()知识点总结导数的几何意义是切点处切线的斜率，已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点附近的变化情况.考向三求切线方程例3在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．知识点总结与切线有关的问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出曲线在点P′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程.考向四由导数的几何意义求参数的取值范围例4已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是．知识点总结1．由导数的几何意义求参数的值或取值范围的解题思路一般是利用切点P(x0，y0)求出切线方程再转化研究．2．两曲线存在公切线求参数的取值范围问题的解题思路由两切线为同一直线得到两个方程，然后消去x1和x2中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再分离参数转化为相应函数的值域问题，其中要关注自变量的取值范围．基础题型训练一、单选题1．曲线1yx在点1,22处的切线方程是（）A．4yxB．44yxC．41yxD．24yx2．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：357211sin(1)3!5!7!(21)!nnxxxxxxn（其中,!123,0!1xRnn）现用上述公式求111111(1)2!4!6!(22)!nn的值，下列选项中与该值最接近的是（）A．sin22.5B．sin33C．sin45D．sin573．已知函数fx是定义在R上的奇函数，且当,0x时，2xfxeexa，则函数fx在1x处的切线方程为（）A．0xyB．10exyeC．+10exyeD．0xy4．已知函数()ln1afxxx的图象在点(2,(2))f处的切线与直线210xy平行，则实数aA．2B．2C．4D．45．已知某质点做变速直线运动，位移S（m）与时间t（s）的关系为ln21Sttt，则t＝1时．该质点瞬时速度的大小为（）A．1m/sB．43m/sC．53m/sD．2m/s6．已知函数3221fxxmxnx，fx是函数fx的导数，且函数fx的图象关于直线23x对称，若1fx在1,上恒成立，则实数n的取值范围为（）A．1,2B．1,2C．1,2D．,二、多选题7．已知函数esinxfxax，π,x，则下列说法正确的是（）A．对任意0a，fx均存在零点B．当1a时，fx有两条与x轴平行的切线C．存在0a，fx有唯一零点D．当1a时，fx存在唯一极小值点0x，且010fx8．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数21sttt表示，则（）A．物体在1st时的瞬时速度为0m/sB．物体在0st时的瞬时速度为1m/sC．瞬时速度为9m/s的时刻是在4st=时D．物体从0到1的平均速度为2m/s三、填空题9．已知函数2ln2fxxx在点1,1f处的切线过点,,0,0abab，则13ab的最小值为__________.10．曲线e21xyxx在点0,1处的切线方程为______．11．函数fx在R上可导，且0fxfx．写出满足上述条件的一个函数：______．12．设lnfxxx，则ef______．四、解答题13．已知函数()eln1xfxxax.(1)当0a时，求曲线yfx在1,1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若0fx恒成立，求实数a的取值范围.14．设函数21xfxxeax，aR.（1）当1a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）设函数ln1xgxxxe，当0a时，证明0fxgx.15．求下列函数的导数：(1)1(1)1yxx；(2)3lnxyxa（0a，且1a）；(3)1sin42yxx；(4)2ln(23)1xyx16．已知曲线y＝x3－2x，求过点(1，－1)的该曲线的切线方程．提升题型训练一、单选题1．'sin3（）A．πcos3B．12C．0D．322．设函数310()(12)fxx，则(1)f等于A．0B．60C．1D．603．若存在过点1,0的直线与曲线3yx和215904yaxxa都相切，则a的值为（）A．1或2564B．1或214C．74或2564D．74或74．设函数321fxxaxaxaR为奇函数，则曲线2()fxyx在点1,0处的切线方程为A．22yxB．1yxC．22yxD．1yx5．设()lnfxxx，若0()2fx，则0xA．2eB．eC．1ln22D．2ln26．已知函数sin,2,2(),2223sin,2,2(),222xxkkkzyxxkkkz的图象与直线(2)(0)ymxm恰有四个公共点11123344,,,,.,,,AxyBxyCxyDxy，其中1234xxxx，则442tanxx（）A．1B．0C．1D．222二、多选题7．已知实数a，b，c，d满足2e111aacbd，其中e是自然对数的底数，则22acbd的值可能是（）A．7B．8C．9D．108．已知lnln1xfxxx，fx在0xx处取得最大值，则（）．A．00fxxB．00fxxC．012fxD．012fx三、填空题9．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=t3-2表示，则此物体在t0s时的瞬时速度为27 m/s，则t0=________.10．有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度为_______.11．已知直线l是曲线ln22yx与ln1yx的公切线，则直线l与x轴的交点坐标为______．12．已知kR，直线ykx与曲线exyx相切，则k______.四、解答题13．求出下列函数的导数．（1）tanxyex＝（2）3ln45yx＝（3）2311yxxxx（4）y＝sinnxx（5）5221xyex﹣＝14．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．15．已知函数1eeln2xxbfxaxx（e自然对数的底数）在点1,1f处的切线方程为24ee3e80xy.(1)求a、b的值；(2)试判断函数fx在区间21,ee内零点的个数？说明你的理由.16．已知抛物线C:2742yxx,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为12，求点M的坐标()00,xy；（2）设P2,a为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P．若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．