专题9.3双曲线的定义与性质（原卷版）

9.3双曲线的定义与性思维导图知识点总结1.双曲线定义：设𝐹1，𝐹2是平面内的两个定点，若平面内的点𝑃满足||𝑃𝐹∣|−|𝑃𝐹2∥=2𝑎(02𝑎|𝐹1𝐹2|)，则点𝑃的轨迹是以𝐹1，𝐹2为焦点的双曲线.2.双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)焦点坐标左焦点𝐹1(−𝑐，0)，右焦点𝐹2(𝑐，0)焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐，其中𝑐叫做半焦距，且𝑐2=𝑎2+𝑏2图形𝑥≤−𝑎或𝑥≥𝑎，𝑦∈𝑅𝑦≤−𝑎或𝑦≥𝑎，𝑥∈R范围对称性关于𝑥轴、𝑦轴、原点对称实轴端点(顶点)(0，±𝑎)虚轴端点(±𝑏，0)实轴长2𝑎，其中𝑎叫做实半轴长虚轴长2𝑏，其中𝑏叫做虚半轴长渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)离心率3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为______.典型例题分析考向一双曲线的定义【例1】双曲线𝐶：𝑥24−𝑦2=1的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝑃在双曲线上，且|𝑃𝐹1|=6，则|𝑃𝐹2|=___________【变式】双曲线𝑥24−𝑦25=1的左焦点为𝐹，𝐴(1，2)，𝑃为双曲线右支上一点，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|的最小值为___________考向二双曲线的标准方程【例2】若方程𝑥2𝑚+𝑦22−𝑚=1表示双曲线，则实数𝑚的取值范围为___________【变式】双曲线𝜆𝑥2−𝑦2=1的实轴长是虚轴长的2倍，则𝜆=___________考向三渐近线问题【例3】已知双曲线𝐶：𝑥26−𝑦23=1，则𝐶的右焦点的坐标为；点(4，0)到其渐近线的距离是___________【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为___________【变式2】双曲线𝐶与双曲线𝑥22−𝑦2=1有相同的渐近线，且过点(2，2)，则双曲线𝐶的方程为___________考向四离心率问题【例4】(2021-全国甲卷)已知𝐹1，𝐹2是双曲线𝐶的两个焦点，𝑃为𝐶上一点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=60∘，|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，则𝐶的离心率为()A.√72B.√132C.√7D.√13【变式】}已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过𝐹2的直线𝑙交双曲线的右支于𝐴、𝐵两点，且|𝐴𝐵|=|𝐴𝐹1|，cos∠𝐴𝐹1𝐵=14，则双曲线的离心率为()A.√52B.√3C.2D.√5考向五焦点三角形面积问题【例5】[变式]设𝐹(𝑐，0)是双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0，𝑏0)的右焦点，过原点𝑂的直线与双曲线交于𝐴，𝐵两点，且𝐴𝐹⊥𝐵𝐹，且△𝐴𝐵𝐹的周长为4𝑎+2𝑐，则该双曲线的离心率为()A.32B.52C.√103D.√102【变式】已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点𝑃在双曲线𝐶上，且𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，则△𝑃𝐹1𝐹2的面积为___________考向六直线与双曲线综合问题【例6】]已知𝐴，𝐵是双曲线𝐶：𝑥22−𝑦23=1上的两点，线段𝐴𝐵的中点是𝑀(2，1)，则直线𝐴𝐵的方程为___________[变式]已知双曲线𝐶：𝑥2−𝑦2=1，过点𝑃(𝑚，1)(𝑚0)的直线𝑙与双曲线𝐶交于𝐴、𝐵两点，若𝑃为线段𝐴𝐵的中点，则𝑚的取值范围是___________基础题型训练___一、单选题1．与椭圆2214924yx有公共焦点，且离心率54e的双曲线的方程是A．221916xyB．221169xyC．221916yxD．221169yx2．若双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线经过点1,3，则双曲线的离心率为（）A．233B．62C．3D．23．双曲线22221(0,0)yxabab-=的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（）A．12yxB．2yxC．2yxD．3yx4．已知A，B分别为双曲线222210,0xyabab的左、右顶点，P为双曲线左支上一点，ABP为等腰三角形且其外接圆的半径为2a，则该双曲线的渐近线方程为（）A．2yxB．yxC．2yxD．12yx5．过原点的直线l与双曲线C：22221xyab（0a，0b）相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足3AFBF，OAb（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线的斜率为（）A．1B．2C．3D．26．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：222210,0xyabab的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若ABO是正三角形，则C的离心率为（）A．3396B．372C．3393D．37二、多选题7．已知双曲线E：221169xy的左右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线E上，1PF=10，则2PF为（）A．2B．6C．16D．188．已知双曲线2221(0)4xyEaa：经过点222P，，则（）A．E的实轴长为2B．E的焦距为42C．E的离心率为2D．E的渐近线方程是12yx三、填空题9．焦点在x轴上，虚轴长为8，且离心率53e的双曲线的标准方程为．10．已知点A为双曲线221xy的左顶点，点B和点在C双曲线的右支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积为；11．过点2,2A与双曲线2212xy有公共渐近线的双曲线方程是.12．从双曲线222222:(0,0)Cbxayabab的左焦点1F引圆222xya的切线，切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点T满足12FTTP，则双曲线C的离心率为．四、解答题13．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(342)，和9(5)4，，求双曲线的标准方程.14．已知双曲线C：2214xy．（1）求以C的焦点为顶点、以C的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（2）求与C有公共的焦点，且过点2,3的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点117,0F，21217,0,2FMFMF，点M的轨迹为C.求C的方程；16．已知O为坐标原点，双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，过2F的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且PQ的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求1FPQ面积的最小值提升题型训练一、单选题1．双曲线2214yx的实轴长为（）A．2B．4C．62D．522．已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且1212MFMFMFMF则双曲线C的离心率为（）A．2B．23C．31D．33．已知双曲线222210,0xyabab的左焦点为F，离心率为2，若经过F和0,4P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．221xyB．22122xyC．22144xyD．22188xy4．已知双曲线22:105yxCmm的上、下焦点分别为12,FF，若存在点,M，使得2125MFMF，则实数m的取值范围为（）A．1,B．1,5C．5,D．0,55．已知双曲线222:10xCyaa与直线:1lxy相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．6,22B．2,C．6,2D．6,22,26．已知1F，2F分别为双曲线222210,0xyabab的左、右焦点，若点2F到该双曲线渐近线的距离为1，点P在双曲线上，且12tan22FPF，则12FPF△的面积为（）A．3B．4C．2D．2二、多选题7．设12,FF分别是双曲线22:1xyCmnmn的左､右焦点，且焦距为2，则下列结论正确的有（）A．2mB．当0n时，C的离心率是2C．n的取值范围是11,22D．1F到渐近线的距离随着n的增大而增大8．已知椭圆221:14xCy过双曲线22222:1(,0)xyCabab的焦点，1C的焦点恰为2C的顶点，1C与2C的交点按逆时针方向分别为A，B，C，D，O为坐标原点，则（）A．2C的离心率为233B．1C的右焦点到2C的一条渐近线的距离为3C．点A到2C的两顶点的距离之和等于4D．四边形ABCD的面积为867三、填空题9．以yx为渐近线且经过点2,0的双曲线方程为．10．已知定点,AB，且8AB，动点P满足4PAPB，则PA的最小值是.11．P是非等轴双曲线222:116xyCa上的一点，12,FF分别是双曲线C左､右焦点，若1122,12PFFFPF，则双曲线C的渐近线方程是.12．已知双曲线方程是2213yx，过2F的直线与双曲线右支交于C，D两点（其中C点在第一象限），设点M、N分别为12CFF△、12DFF△的内心，则MN的范围是.四、解答题13．求满足下列条件的曲线标准方程：(1)两焦点分别为12,0F，22,0F，且经过点61,3P的椭圆标准方程；(2)与双曲线22146xy有相同渐近线，且焦距为25的双曲线标准方程.14．已知双曲线C：222210,0xyabab与双曲线22123xy有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线220xy-+=平行.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且l分别交双曲线C的两条渐近线于,AB两点，O为坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.15．在一张纸上有一圆C：22564xy，定点5,0M，折叠纸片使圆C上某一点1M恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线1MC的交点为T.(1)求点T的轨迹C方程；(2)曲线C上一点N，点A、B分别为直线1l：34yx在第一象限上的点与2l：34yx在第四象限上的点，若ANNB，1,23，求AOB面积的取值范围.16．已知O为坐标原点，双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为2，过2F的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且PQ的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求1FPQ面积的最小值