专题9.4 抛物线的定义与性质（原卷版）

9.4抛物线的定义与性质思维导图知识点总结内容提要1.抛物线的定义：平面上到定点𝐹的距离与到定直线𝑙(不过定点𝐹)的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中定点𝐹叫做抛物线的焦点，定直线𝑙叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与简单几何性质：定义标准方程()𝑝0焦点准线范围对称轴顶点图形|𝐴𝐹|=𝑑𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝2，0)𝑥=−𝑝2𝑥≥0𝑦∈𝐑𝑥轴原点𝑦2=−2𝑝𝑥(−𝑝2，0)𝑥=𝑝2𝑥≤0𝑦∈𝐑𝑥轴定义标准方程()𝑝0焦点准线范围对称轴顶点图形|𝐴𝐹|=𝑑𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝2，0)𝑥=−𝑝2𝑥≥0𝑦∈𝐑𝑥轴原点𝑥2=2𝑝𝑦(0，𝑝2)𝑦=−𝑝2𝑥∈𝐑𝑦≥0𝑦轴𝑥2=−2𝑝𝑦(0，−𝑝2)𝑦=𝑝2𝑥∈𝐑𝑦≤0𝑦轴3.抛物线上的点到焦点𝐹的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)中，若点𝐴在抛物线上，且𝐴𝐷⊥准线于𝐷，如上表中第1个图，有|𝐴𝐹|=|𝐴𝐷|=𝑥𝐴+𝑝2，其余开口的抛物线类似.典型例题分析考向一抛物线的定义【例1】已知抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹，准线𝑙与𝑥轴交于点𝑃，过𝐹且垂直于𝑥轴的直线与抛物线交于𝐴，𝐵两点，若△𝑃𝐴𝐵的面积为2，则𝑝=答案：√2【变式】(2020.新课标I卷)已知𝐴为抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)上一点，点𝐴到𝐶的焦点的距离为12，到𝑦轴的距离为9，则𝑝=()A.2B.3C.6D.9考向二抛物线的标准方程【例2】若抛物线𝐶的顶点在原点，焦点坐标为(32，0)，则抛物线𝐶的标准方程为，准线方程是___________[变式1]若抛物线𝑦=𝑎𝑥2的准线方程为𝑦=−18，则𝑎=___________[变式2]顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线𝐶经过点𝐴(2，1)，则𝐶的方程为___________考向三焦半径和焦点弦【例3】已知抛物线𝐸：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹，点𝐴是抛物线𝐸的准线与坐标轴的交点，点𝑃在抛物线𝐸上，若∠𝑃𝐴𝐹=30∘，则|𝑃𝐴||𝑃𝐹|=___________，sin∠𝑃𝐹𝐴=___________考向四直线与抛物线有关计算问题【例4】已知抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹(1，0)，准线与𝑥轴交于点𝐴，点𝑀在第一象限且在抛物线𝐶上，则当|𝑀𝐹||𝑀𝐴|取得最小值时，直线𝐴𝑀的方程为___________基础题型训练一、单选题1．已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PQl于点2,26Q，则PF（）A．5B．4C．56D．432．设抛物线C：212xy的焦点为F，点P在C上，0,9Q，若PFQF，则PQ（）A．22B．42C．52D．623．已知点0(4,)My在抛物线2:2(0)Cypxp上，点M到抛物线C的焦点F的距离为5，设O为坐标原点，则OFM的面积为（）A．1B．2C．2D．224．设直线4x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE(O为坐标原点)，则C的焦点坐标为（）A．1,04B．1,02C．1,0D．2,05．设抛物线24yx的焦点为F，已知点1,4Ma，1,2Nb，1,Pc，4,Qd都在抛物线上，则,,,MNPQ四点中与焦点F距离最小的点是（）A．MB．NC．PD．Q6．已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且||5AF，则||||PAPO（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．213C．41D．6二、多选题7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，准线方程为y＝－116B．开口向上，焦点为1(0,)16C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－18．已知抛物线C的焦点在直线230xy上，则抛物线C的标准方程为（）A．212yxB．212yxC．26xyD．26xy三、填空题9．已知O为坐标原点，抛物线2:8Cyx的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，若P在以线段OQ为直径的圆上，则该圆的方程为.10．已知F为抛物线C：24yx的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点D，若F是AD的中点，则FB.11．若抛物线2yx=上一点M到抛物线焦点的距离为1，则M点的横坐标是．12．已知二次函数2(0)yaxbxca的图像交x轴于AB、两点，直线1l与抛物线交于MN、两点，直线2l与1l平行，且与抛物线相切于点P，则(+)PMPNAB．四、解答题13．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点(4,23)M，求这个抛物线的标准方程．14．已知抛物线22(0)ypxp上有一点(4,)Qm到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若||8AB，求直线l的方程．15．分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上．(2)抛物线的焦点是双曲线221916yx的焦点之一．16．已知抛物线2:2(0)Cypxp上横坐标为2的一点P到焦点的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）设动直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为12,kk，且122kk，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.提升题型训练一、单选题1．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）A．2xyB．24yxC．214yxD．22yx2．已知0mn，则方程221mxny与20mxny在同一坐标系内的图形可能是（）A．B．C．D．3．已知点P是抛物线24yx上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3B．172C．5D．924．设P为抛物线C：24yx上的动点，2,4A关于P的对称点为B，记P到直线1,3xx的距离分别1d，2d，则12ddAB的最小值为（）A．2172B．2132C．172D．131725．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点A是抛物线C上一点，一条光线沿AF射出，经过抛物线C上的点B（异于点A）反射，反射光线经过点5,2M，若8ABBM，则抛物线C的方程为（）A．22yxB．24yxC．26yxD．28yx6．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到其准线的距离为2，过点(4,0)E的直线l与抛物线C交于A，B两点，则||2||AFBF的最小值为（）A．223B．823C．178D．9二、多选题7．已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，4,An为C上一点，且5AF，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则（）A．2pB．8nC．1(,1)4BD．3OAOB8．已知圆C：221xy直线l：20xy，下列说法正确的是（）A．直线l上存在点P，过P向圆引两切线，切点为A，B，使得0PAPBB．直线l上存在点P，过点P向圆引割线与圆交于A，B，使得2PAPBC．与圆C内切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D．与圆C外切，与直线l相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题9．抛物线212xy的准线方程为.10．已知点O为坐标原点，直线:20lkxy交抛物线2:2(0)Expyp于A，B两点，P为y轴正半轴上一点，且点A，P，B的纵坐标成等比数列，则P点的坐标为.11．设抛物线C：28yx的焦点为FA，是C上的一点且在第一象限，以F为圆心，以FA为半径的圆交C的准线于BD，两点，且AFB，，三点共线，则点A的横坐标为.12．过抛物线24yx焦点的直线交抛物线于AB、两点，若10AB，则AB的中点P到y轴的距离等于．四、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：22ypx经过点1,2A，求抛物线C的方程；14．已知P为抛物线26yx上一点，点P到直线:34260lxy的距离为1d.（1）求1d的最小值，并求此时点P的坐标；（2）若点P到抛物线的准线的距离为2d，求12dd的最小值.15．（1）求经过点(2,4)P的抛物线的标准方程：（2）求一条渐近线为230xy，且过点(1,1)的双曲线的标准方程；（3）求经过点(3，42)，(94，5)的双曲线的标准方程．16．已知抛物线1C：220ypxp的焦点为F，过点F的直线l与曲线1C交于A，B两点，设11,Axy，22,Bxy，则126xx且弦AB的中点到准线的距离为4．（1）求曲线1C的方程；（2）设离心率为32且长轴为4的椭圆2C的方程为222210xyabab．又椭圆2C与过点1,0Q且斜率存在的直线l相交于M，N两点，已知45MONS，O为坐标原点，求直线l的方程．