数学建模之库存模型

第7章最优化模型7.1节库存模型7.1.1函数极值必要条件和充分条件对于不附带约束条件的函数极值问题，如果函数是可导的，既可以根据可导函数极值的必要条件和充分条件直接用微分法求精确解，又可以采用数值计算方法求数值解；有一些问题可以用初等代数方法求精确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值，可以利用均值不等式求某些初等函数的极值；还有一些问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较.7.1.1函数极值必要条件和充分条件1.一元函数极值必要条件和充分条件定理7.1.1（必要条件）设函数f(x)在点x=a处可导.如果f(x)在x=a处取得极值，则()0fa.定理7.1.2（充分条件）设函数f(x)在点x=a处具有二阶导数.如果()0fa且()0fa，则f(x)在x=a处取得极小值；如果()0fa且()0fa，则f(x)在x=a处取得极小值.注7.1.1如果函数f(x)满足定理7.1.2的前提条件，并且f(x)在点x=a处有()()0fafa，则需要另想办法判断f(x)在x=a处的局部性质.7.1.1函数极值必要条件和充分条件2.二元函数极值必要条件和充分条件定理7.1.3（必要条件）设f(x,y)在定义域内存在连续一阶偏导数，(a,b)是定义域的内点.如果f(x,y)在点(a,b)处取得极值，则在点(a,b)处有0xyff.定理7.1.4（充分条件）设函数f(x,y)在定义域内存在连续二阶偏导数，点(a,b)是定义域的内点.（i）如果f(x,y)在点(a,b)处有0xyff，0xxf且20xxyyxyfff，则f(x,y)在点(a,b)处取得极小值；（ii）如果f(x,y)在点(a,b)处有0xyff，0xxf且20xxyyxyfff，则f(x,y)在点(a,b)处取得极大值.7.1.1函数极值必要条件和充分条件2.二元函数极值必要条件和充分条件注7.1.2设函数f(x,y)满足定理7.1.4的前提条件，并且在点(a,b)处有0xyff.如果在点(a,b)处有20xxyyxyfff，则点(a,b)称为f(x,y)的鞍点，即在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内既存在点(x,y)使得f(x,y)f(a,b)，又存在点(x,y)使得f(x,y)f(a,b)；如果在点(a,b)处有20xxyyxyfff，则需要另想办法判断f(x,y)在点(a,b)处的局部性质.7.1.1函数极值必要条件和充分条件2.二元函数极值必要条件和充分条件改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述：定义7.1.1设f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数xf和yf，则,xyfff称为f(x,y)在点(a,b)处的梯度.定义7.1.2设函数f(x,y)在定义域内存在连续二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由f(x,y)在(a,b)处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵xxxyxyyyffffH称为f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H又记作2f）.7.1.1函数极值必要条件和充分条件2.二元函数极值必要条件和充分条件在定理7.1.3当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的必要条件可以改写为“0f”；在定理7.1.4当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极小（大）值的充分条件可以改写为“0f且2f正（负）定”.从一元函数f(x)推广到二元函数f(x,y)，要用f(x,y)的梯度向量代替f(x)的一阶导数，用f(x,y)的黑塞矩阵及其正（负）定性质代替f(x)的二阶导数及其正（负）号.事实上，这一规律可以推广到多元函数.7.1.1函数极值必要条件和充分条件3.多元函数极值必要条件和充分条件定义7.1.3设n元函数f(X)(12(,,,)nxxxX)在所考虑的定义域内存在一阶偏导数，则f(X)的梯度为12,,,nxxxffff其中kxkffx(1,2,,)kn7.1.1函数极值必要条件和充分条件3.多元函数极值必要条件和充分条件定义7.1.4设n元函数f(X)在所考虑的定义域内存在连续二阶偏导数，则f(X)的黑塞矩阵记作111211222212nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxfffffffffH其中2ijxxijffxx(,1,2,,)ijn（H又记作2f）.7.1.1函数极值必要条件和充分条件3.多元函数极值必要条件和充分条件定理7.1.5设n元函数f(X)在定义域内存在连续一阶偏导数，点0X是定义域的内点.如果f(X)在点0X处取得极值，则f(X)在点0X处有0()f0X.定理7.1.6设n元函数f(X)在定义域内存在连续二阶偏导数，点0X是定义域的内点.如果f(X)在点0X处有0()f0X且20()fX正（负）定，则f(X)在点0X处取得极小（大）值.7.1.2确定性静态库存模型1.库存模型简介库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生产经营正常进行而必需的库存水平.库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个时段内的库存总费用最小.库存总费用通常由以下费用构成：库存总费用=购买费用+固定费用+存货费用+缺货损失7.1.2确定性静态库存模型1.库存模型简介（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这也是订多少货要考虑的因素之一；（2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用，与订货量无关；（3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括资金利息、存储费、维护费和管理费；（4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失.7.1.2确定性静态库存模型1.库存模型简介通过考察库存总费用的构成，我们不难发现：（1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增加存货费用.库存模型要在这些费用之间进行平衡.（2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩罚费用.库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行平衡.7.1.2确定性静态库存模型1.库存模型简介库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库存量下降到某个水平（称为订货点），就发出新订单.7.1.2确定性静态库存模型1.库存模型简介库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对货物的需求量），在实际情况中，库存模型的需求模式可以分为三类：（1）确定性的，静态（需求率是与时间无关的常数）；（2）确定性的，动态（需求率是时间的确定性函数）；（3）随机性的（需求率是时间的随机变量）.在以上三类模式中，从建立库存模型的角度来看，第（1）类最简单，第（3）类最复杂；但是在实际情况下，第（1）类最少发生，第（3）类最普遍.7.1.2确定性静态库存模型1.库存模型简介在建立库存模型的时候，要在模型简化和模型精确性两方面进行平衡，并且要注意灵敏度分析和强健性分析.下面介绍确定性静态库存模型和经济订货批量（economic-order-quantity，EOQ）公式.7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型最简单的库存模型是不允许缺货的确定性静态库存模型，即假设货物的单价不随订货量而改变，假设需求率为常数，在库存下降到0的时候立即订货，并即时补货，不会出现缺货的情况.引入以下记号：Q~订货量（货物件数）；Q~不允许缺货时的最优订货量；T~订货周期长度（时间单位）；T~不允许缺货时的最优订货周期；7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型r~需求率（件/时间单位）；0p~每件货物的价格（货币单位/件）；1p~每次订货的固定费用（货币单位）；2p~每单位时间每件货物的存货费用（货币单位/(件∙时间单位)）；C~每单位时间的总费用；C~不允许缺货时，每单位时间总费用的最小值.7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型不允许缺货时的模型假设（见图7.1）：（1）0p、1p、2p和r都是正的常数；（2）T和Q都是正的连续量；（3）在库存量下降到0时立即订货，并即时补货，订货量为Q=rT.0QT=Q/r平均库存=Q/2订货时刻时间库存量不允许缺货的确定性静态库存模型的库存模式图7.17.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型根据假设，一个订货周期内的平均库存量等于Q/2，所以库存费用是22pQT.于是每单位时间的总费用为212010122pQTpprTCpQpprTT按照库存模型的建模目的，订货周期T的最优值应该由每单位时间的总费用C关于T的最小值得出.既然已经假设T是连续量，所以可以用微分法求解.7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型首先，根据定理7.1.1，C在TT取得极值的必要条件为122()02pprCTT(7.1.1)由(7.1.1)式可解得（舍去负值）：122pTpr(7.1.2)而且T是函数C(T)在定义域{T|T0}内的唯一驻点.7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型然后，根据定理7.1.2，因为对任意的T0，都有31()20CTpT，所以T是函数C(T)的极小值点.既然函数C(T)在定义域内只有T一个驻点，所以C在TT取得最小值.于是，不允许缺货的确定性静态库存模型的最优订货策略是：最优订货周期为T，而最优订货量为QrT，即122prQp(7.1.3)(7.1.2)和(7.1.3)式就是EOQ公式.7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型相应的，每单位时间的总费用的最小值为0122Cprppr(7.1.4)注7.1.3因为假设每件货物的价格0p是与订货量Q无关的常数，所以在以上模型的叙述当中可以省略0p和购买费用；但是如果0p与订货量Q有关，例如分段价格：010010202,(),pQqppppQq若若，那么在制定最优订货策略的时候就必需考虑每件货物的价格和购买费用.7.1.2确定性静态库存模型2.不允许缺货的确定性静态库存模型注7.1.4以上模型假设订货的时候即时补货，实际上，从发出新的订单到收到货物之间存在提前时间L（L0），相应的订货时间应该修改为：（1）如果LT，则订货时刻要比订货周期结束时刻提前长度为L的时间；（2）如果LT，则订货时刻要比订货周期结束时刻提前长度为LnT的时间，其中nLT，即不超过LT的最大整数.7.1.2确定性静态库存模型3.允许缺货的确定性静态库存模型在不允许缺货的确定性静态库存模型的记号基础上，引入新记号：3p~每单位时间每件货物的缺货损失费用（货币单位/(件∙时间单位)）；0Q~首次订货量和每个订货周期的库存量最大值（件）；0Q~允许缺货时0Q的最优值；1T~每个订货周期库存量从0Q下降到0的时间长度（时间单位）；7.1.2确定性静态库存模型3.允许缺货的确定性静态库存模型1T~允许缺货时1T的最优值；Q~允许缺货时的最优订货量；T~允许缺货时的最优订货周期；C~允许缺货时，每单位时间总费用的最小值.将不允许缺货时的模型假设修改为（见图7.2）：（1′）0p、1p、2p、3p和r都是正的常数；（2′）T、1T、Q和0Q都是连续量，10TT，00QQ；7.1.2确定性静态库存模型3.允许缺货的确定性静态库存模型（3′）允许缺货，在订货之前库存量已下降到0，订货时补足缺货量，并即时补货，忽略首次订购量0QQ给购买费用带来的影响.图7.27.1.2确定性静态库存模型3.允许缺货的确定性静态库存模型根据假设，首次订货量和每个订货周期的库存量最大值为01QrT；在一